[Algo] 3-10. Binary Indexed Tree(Fenwick Tree, BIT)

前言：
若要對一數組做範圍取值，那麼最快的方法是前綴數組(prefix sum)，可以做到\(O(1)\)的查詢，但若要做單點更新需要\(O(n)\)的時間來維護。
而數組則是做單點更新只需要\(O(1)\)的時間，而要範圍取值則需要\(O(n)\)的查詢時間。
故若是查詢遠大於更新的情境，則適用前綴數組；若更新遠大於查詢的情境，則適用一般數組。
那假如查詢與更新的次數一樣多呢(動態更新與查詢的情境)，這種情況就可以用到此章節要介紹的資料結構，Binary Indexed Tree 了。
此結構可以做到 \(O(n)\) 的初始化，\(\log(n)\) 的更新與 \(\log(n)\) 的查詢。

\( \begin{array}{|c|c|c|}\hline &\textsf{範圍查詢}&\textsf{單點更新}\\\hline \textsf{數組}&O(n)&O(1)\\\hline \textsf{前綴數組}&O(1)&O(n)\\\hline \textsf{BIT}&O(\log n)&O(\log n)\\\hline \end{array} \)

簡介

與線狀樹(Segment Tree)類似，但線狀樹可以看成是 BIT 的擴充版。
BIT 的好處是只需要 n 的數組空間便可以實作，且其指標移動是透過位元運算，計算相當快速，缺點是無法套用到取極大值、極小值的情境。
參考上圖，BIT 利用「部分presum」的特性，來達到平均 \(O\log n\)的查詢與更新的時間，而其實其結構就是 partition 的其中半顆樹。
- \(\text{BIT[1]=arr[1]}\)
- \(\text{BIT[2]=arr[1]+arr[2]}\)
- \(\text{BIT[3]=arr[3]}\)
- \(\text{BIT[4]=arr[1]+arr[2]+arr[3]+arr[4]}\)
- …
- \(\text{BIT[8]=arr[1]+arr[2]+…+arr[8]}= \text{BIT[4]+BIT[6]+BIT[7]+arr[8]}\)
觀察以上結構，
- 查詢時，求 [0:n] 的值為把上圖的片段湊起來變成 n 的長度。
  - 如 \(\text{SUM[0:7]=BIT[7]+BIT[6]+BIT[4]}\)
    - 位元表示：\(\text{SUM[0:7]=BIT[1b'111]+BIT[1b'110]+BIT[1b'100]}\)
  - 如 \(\text{SUM[0:11]=BIT[11]+BIT[10]+BIT[8]}\)
    - 位元表示：\(\text{SUM[0:11]=BIT[1b'1011]+BIT[1b'1010]+BIT[1b'1000]}\)
  - 可以發現位元的規律是每次把當前的 LSB(least significant bit) 扣掉。
- 更新時，需要把包含 n 的片段都更新。(設n=18)
  - 如 \(\text{update(arr[7])=update(BIT[7])+update(BIT[8])+update(BIT[16])}\)
    - 位元表示：\(\text{update(arr[7])=update(BIT[1b'111])+update(BIT[1b'1000])+update(BIT[1b'10000])}\)
  - 如 \(\text{update(arr[11])=update(BIT[11])+update(BIT[12])+update(BIT[16])}\)
    - 位元表示：\(\text{update(arr[7])=update(BIT[1b'1011])+update(BIT[1b'1100])+update(BIT[1b'10000])}\)
  - 可以發現位元的規律是每次把當前的 LSB 加進來。
- 統整以上規律我們可以寫成以下的模版
- 將 BIT[0] 設為 dummy，可方便計算。

模板

class BIT {
private: 
    vector<int> bit;
    int lowbit(int a) {
        return a & (-a);
    }
public:
    BIT (int n) {
        bit.assign(n+1, 0);
    }
    void add(int idx, int diff) {
        idx++;
        int n = bit.size();
        while (idx < n) {
            bit[idx] += diff;
            idx += lowbit(idx);
        }
    }
    int query(int idx) {
        int sum = 0;
        idx++;
        while (idx > 0) {
            sum += bit[idx];
            idx -= lowbit(idx);
        }
        return sum;
    }
}

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