Mismatch 的重要性#
- Mismatch 就是當元件的結構設計相同，且尺寸相等，發生性質差異的一種行為。
- 當尺寸漸縮，變異(viriability)的程度會愈來愈大。
- 變異(viriability)變大會影響到類比邏輯應用的表現。
Variability/Fluctuation 變異度/誤差定義#
- 元件的單體量測值到整體的 Stardard Target 或 Median 的差距。
- 可分為系統誤差與隨機誤差。
Systematic variability 系統誤差 (Global)#
- 外質特性(extrinsic)
- 可以透過製程改良或控制來改善
- W2W: 裝置穩定度 equipment stability
- Wafer level: 裝置均勻度 equipment uniformity、黃光穩定度 Litho. stability
- Die level: 黃光均勻度 Litho. uniformity、溫度均勻度 temp. non-uniformity
- pattern density like poly gate density might impact temperature uniformity
- Layout-Dependent: 光學偏移效應 Optical proximity effect、機械應力 Mechanical stress
Random variability 隨機誤差 (Local/Mismatch)#
- 本質特性(intrinsic)
- 較難被改善
- 沒有空間相關性
- 尺寸漸縮，比例可能被放大
- 微擾動: 參雜 dopant, LER, …
- random dopant fluctuation(RDF): dopant diffuse randomly
- gate dieletric roughness
- line edge roughness(LER)
- grain irregularity
統計手法#
常態分佈#
- 大部分的元件特性都呈常態分布(normal distribution)
- 中央極限定理 Advanced Central Limit Therem: 相互獨立的隨機變數, 其均值以常態分佈為極限
- Sum of normally distributed random variables: 常態分佈的線性組合依然是常態分布
- 可簡單透過 median 與 sigma 來描述一組數據, 並用來預測數據
- 常態分布的函數式為 \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-u)^2}{2\sigma^2}}\)
分析手法#
- 透過刪減 outlier 使 rawdata 盡量接近常態分布 (刪除 3倍 sigma 以外的 outlier，重複 6 次)
- 通常 Full mapping 量測(66pts) 會有 0~2 點的 outliers
- 數學公式: A = B + C 且 B 與 C 為不相依的變數時 \((\sigma_A)^2=(\sigma_B)^2+(\sigma_C)^2\)
$$(\sigma_{total})^2=(\sigma_{global})^2+(\sigma_{local})^2$$
- Total:
- \(\sigma(\text{Vt1,Vt2,…Vtn})\) in wafer
- Global:
- \((\sigma_{total})^2=(\sigma_{global})^2+(\sigma_{local})^2\)
- \(\text{Median(Vt1,Vt2,…Vtn)}\)
- \(\sigma(\text{Med1,Med2,…Medn})\)
- Local:
- \(\sigma(\text{Vt1,Vt2,…Vtn})\) in die
- local = \(\sqrt{\frac{\sum\sigma_i}{n}})\)
- mismatch = \(\sigma(\Delta\text{Vt1},\Delta\text{Vt2},…\Delta\text{Vtn})\)
Mismatch量測#
- 量測 Full mapping data
- 將同個 die 裡面的 device pair(the same W & L) 計算差值
- \(\Delta\text{Vt}=Vt1-Vt2\)
- \(\Delta\text{Ion}=\frac{2\times(\text{Ion}_1-\text{Ion}_2)}{\text{Ion}_1+\text{Ion}_2}\)
- Normalization
- 同一組 device pair 內，去除 outlier，使數據接近常態分佈
- 因為 mismatch 受 sacle 影響，故須對 scale 做正常化 1/sqrt(WL)，Standard variation of mismatch is proportional to inverse of square root of area.
- Draw \(\Delta\text{Vt}-\frac{1}{\sqrt{W/L}}\)圖