TCAD 模擬收斂問題

收斂問題

Sentaurus Device 有非常多種可模擬大電場下之飽和遷移率的模型，而這主要是設定有效電場的模型。其中，最自然的選擇就是 Eparallel driving model。這種模型取總電場平行於電流方向上的分量。不過這通常會導致嚴重的收斂問題。主要是因為電場跟電流有著極為密切的關係，除此之外，以 MOSFET 通道為例，通常垂直與平行通道方向之電場數量級差很多，因為演算之數值誤差會「混合」這兩個分量，所以這種 Eparallel 模型會使得每個節點上的 driving force變化許多，進而改變電流方向，又接著改變電場分量，所以會造成極為不穩定的情況。

其中一個折衷的辦法，就是只考慮平行於 silicon-oxide 界面上的電場，可以使用 HighFieldSaturation(EparallelToInterface) 指令來啟動這模型。只要大部分的電流都平行於界面，那基本上這就是個很好的模型。然而，目前最新科技通常會使得 source/drain 的電流以「向外散開，向內吸入」的方式進入與離開。例如說目前的 ultrashalow source and drain extensions。電流散開之後，電流就不再平行於界面，而這模型可能會帶來將近 5-15 % 的誤差。因此，如果你知道電流的方向，那麼你也可以設定用來計算平行電場分量之方向向量，而不再只是單純地與最鄰近的界面平行的方向。例如說，如果你覺得電流主要是沿著 x 軸在流動，那麼可以在 Math section 設定 EparallelToInterface (Direction = (1 0 0))。

最常用的 driving force 是 quasi-Fermi potential 的梯度模型。通常這跟平行電場模型是一樣的，但它的演算法比較穩定。可以用 HighFieldSaturation(GradQuasiFermi) 選項來啟動它。不過，即便如此，還是可能會造成收斂問題。這是因為通常 quasi-Fermi potential 的梯度都非常的陡峭，變化得太過劇烈或是非常的不平滑，而這往往切得比較不好的網格所造成的。

但在有些時候，即便網格切得很好，還是沒辦法收斂。有時是因為低載子濃度的區域的濃度相對誤差都滿高的，而這會進一步導致 quasi-Fermi potential 的誤差變得滿大的。因為這些區域通常對總電流的貢獻並不是很顯著，所以算得太準反而會讓模擬跑得更慢。不過，你確實需要確認一下這些低密度是不是導致發散。

除此之外，也可藉由設定 RefDens_eGradQuasiFermi_EparallelToInterface 與 RefDens_hGradQuasiFermi_EparallelToInterface 來使用「內插 GradQuasiFermi 與 Eparallel」的 driving force 模型。該參數定義了 gradual transition 發生的局域載子濃度。例如說，如果設定為 1e12，那麼當載子濃度高於 1e12，就使用 GradQuasiFermi model，反之則使用 Eparallel model。通常 1e12 並不會影響到總電流，但仍能改善收斂問題。有時甚至需要用到 1e14 ～ 1e16 以獲得更好的收斂，但要留意不同設定所得到的電流是否一致，以確定 Eparallel driving force 帶來的誤差仍可接受。

另一種內插法是 QausiGradFermi 與電場本身，可使用 RefDens_eGradQuasiFermi_ElectricField 與 RefDens_eGradQuasiFermi_ElectricField 參數來設定。

還有一種方法改善收斂，就是在低濃度的地方逐漸忽略 driving force。可以藉由 RefDens_eGradQuasiFermi_Zero (for electrons) and RefDens_hGradQuasiFermi_Zero (for holes) 設定，將它們設定為正值即可。例如說，如果設定為 1e10，那麼在 1e10 濃度以下的地方就不會用到 driving force。

還有一個在物理上可行的做法，就是使用 hydrodynamic transport model。這時 sdevice 會計算局域載子溫度，接著並用來計算 driving force。可以藉由 HighFieldSaturation(CarrierTempDrive) 來開啟它。有時會因為有比較好的收斂而改善通常 HT model 算太慢的現象。總之，如果你在使用 GradQuasiFermi 時遇到了收斂問題。那麼你可以：

確保通道的網格足夠細緻與均勻
考慮改成 EparallelToInterface
如果 terminal currents 誤差實在很大，那麼可考慮將 RefDens_e/hGradQuasiFermi_ElectricField 設定為 1e12 或者更高。
設定 RefDens_e/hGradQuasiFermi_Zero 到 1e10 或者更高以忽略在低於該濃度時的 driving force 計算
最後可以考慮改用 hydrodynamic transport model。

常見模擬參數之意義

HighFieldSaturation(GradQuasiFermi)
RefDens_hGradQuasiFermi_Zero：低於其值則忽略 damp 有效電場
RefDens_eGradQuasiFermi_EparallelToInterface：高於其值則使用 GradQuasiFermi，低於則 EparallelToInterface。
RefDens_eGradQuasiFermi_ElectricField：高於其值則使用 GradQuasiFermi，低於則 Eparallel

External resistor method

這方法很有用，但是非常慢。

簡單來說，只是在元件上串聯一個電阻。

但因為我們設定 $R=V_b/I_b$，所以在 InnerVoltage 到達 $V_b$ 時，OuterVoltage 會是兩倍的崩潰電壓。而在那之前，因為電流實在是很小，所以外接電阻分配到的分壓並沒有追到元件分壓，使得大部分分壓都會正常地落在元件上。設定方法為，先在其中一個電極設定電阻，如下所示。

Electrode {
	{ Name= "substrate" Voltage= 0.0 }
	#if "@BVmethod@" == "resistor"
		{ Name= "anode" Voltage= 0.0 Resistor= @R@}
	#else
		{ Name= "anode" Voltage= 0.0 }
	#endif
}

設定好之後其實就大功告成了。不過此時因為你只能夠控制某電極的電位，而在其中一個電極電位被設定為 Voltage=0.0 的情況下，這相當於設定兩電極（anode與substrate）之間的電壓，即「元件與電阻」的總跨壓。因此，倘若元件開始崩潰，電流開始爆增，那麼「元件與電阻」的總跨壓將會變得非常大。因此如果將後續的模擬目標電壓設定為-50V 或甚至是 -100V，那因為元件分到的跨壓一定比較小，所以很可能沒達到目標。因此這時需要將最後的目標電壓設定得高一點，通常我都設定-500到-1000。有時為了更加準確而會設定為-2000。

Trap 設定(sdevice)

Another available species is the fixed charge, which is a trap fully occupied by either electrons or holes. Therefore, its charge stays constant throughout the entire simulation and does not depend on electrical bias conditions. Electron–hole recombination through such a trap is not allowed. This type of trap uses the FixedCharge keyword for a trap specification.

Recombination & Generation rate

基本上它們都遵守 SRH recombination rate:
$$ R_{SRH}=\frac{np-n_i^2}{\tau_{p0}(n+n_1)+\tau_{n_0}(p+p_1)} $$

但是沒辦法在 sdevice 用 SRHRecombination( Integrate( Semiconductor ) ) 觀察到這些特地、額外設定的 trap 造成的 SHR recombination rate，反而必須使用：

CurrentPlot {
        eGapStatesRecombination( Integrate( Semiconductor ) )
	eGapStatesRecombination( Integrate( Region="Absorption" ) )
	eGapStatesRecombination( Integrate( Region="Multiplication" ) )
	hGapStatesRecombination( Integrate( Semiconductor ) )
	hGapStatesRecombination( Integrate( Region="Absorption" ) )
	hGapStatesRecombination( Integrate( Region="Multiplication" ) )
}

才能夠看見這些 trap 的貢獻。

Trap-assisted tunneling

這些 Trap 預設並沒有 trap-assisted tunneling 效果。換言之，即便之前設定了 Physics{Recombination(SRH(ElectricField(Lifetime=Hurkx)))}，也不會讓 trap 有此效應。這需要額外設定：

Physics(Region="Absorption"){
	Traps(eNeutral Level fromMidBandGap EnergyMid=@Eti@ 
              Conc=1e15 eXsection=@eXsec@ hXsection=@hXsec@
	      SpatialShape=Gaussian SpaceMid=(@PosX@, 1.5) SpaceSig=(@Lx@, 1e3)
	      Tunneling(Hurkx)
	)
}

上面的Tunneling(Hurkx)就是 trap-assisted tunneling 效應。

Lifetime 雖然 lifetime 滿足底下公式：

$$ \tau_{n,p}=\frac{1}{\sigma_{n,p}v_{n,p}N_t} $$

但是沒辦法直接使用eLifetime與hLifetime觀察，需要手動將上述數據相乘。

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常見模擬參數之意義#

External resistor method#

Trap 設定(sdevice)#

Recombination & Generation rate#

Trap-assisted tunneling#