18. 4Sum

  • Hardness: \(\color{orange}\textsf{Medium}\)
  • Ralated Topics: Array、Two Pointer、Sorting

一、題目

Given an array nums of n integers, return an array of all the unique quadruplets [nums[a], nums[b], nums[c], nums[d]] such that:

  • 0 <= a, b, c, d < n
  • a, b, c and d are distinct.
  • nums[a] + nums[b] + nums[c] + nums[d] == target You may return the answer in any order.

Example 1:

  • Input: nums = [1,0,-1,0,-2,2], target = 0
  • Output: [[-2,-1,1,2],[-2,0,0,2],[-1,0,0,1]]

Example 2:

  • Input: nums = [2,2,2,2,2], target = 8
  • Output: [[2,2,2,2]]

Constraints:

  • 1 <= nums.length <= 200
  • -10^9 <= nums[i] <= 10^9
  • -10^9 <= target <= 10^9

二、分析

  • 延續之前的 2Sum 跟 3Sum，大於 3 以上的 kSum 問題其實都是依樣畫葫蘆，其時間複雜度為 \(O(k-1)\)。
  • 先試改寫 2Sum，先前為了達到最優解，採用的是 HashMap 的策略，但對於 k>2 時，因時間複雜度為 \(O(n^{k-1})\)，採用 Sorting 的時間複雜度為 \(O(n\log n)\)。故以下會採用 Two Pointer 搭配 sorting 的策略去解題，
  • 首先我們可以假設數組是已排序的，並參考 3Sum 去改寫 2Sum，並回傳滿足條件數字組合(注意與原題目不同)，且數組不重覆且為數列不為遞減：
    vector<vector<int>> twoSum(vector<int>& nums, int target, int start) {     // nums 為 sorted array
    vector<vector<int>> res;
    int left = start;       // 注意 left pointer 是從 nums[i] 的下一位開始，即 i+1，我們將之訂為 start
    int right = nums.size()-1;
    while (left < right) {
        int sum = nums[left] + nums[right];
        if (sum < target) {
            while (left+1 < right && nums[left] == nums[left+1]) left++;        // 優化，跳過重覆的值
            left++;
        } else if (sum > target) {
            while (right-1 > left && nums[right-1] == nums[right]) right--;     // 優化，跳過重覆的值
            right--;
        } else {
            res.push_back({nums[left], nums[right]});
            while (left+1 < right && nums[left] == nums[left+1]) left++;        // 避免重覆數組
            while (right-1 > left && nums[right-1] == nums[right]) right--;     // 避免重覆數組
            left++;
            right--;
        }
    }
    return res;
}
    • 接下來要求 3Sum 就很簡單了，我們只需要做下列兩件事：
      1. sort
      2. 代入 target 與 start，其中 target 便是
      for (int i = 0; i < nums.size()-k+1; i++) { // 注意上限為 n-k+1
    target = -nums[i];      // 注意為負
}

      vector<vector<int>> threeSum(vector<int>& nums) {
    sort(nums.begin(), nums.end())  // 注意需先 sort
    vector<vector<in>> res;
    for (int i = 0; i < nums.size()-2; i++) {
        int target = -nums[i];
        vector<vector<int>> subsets = twoSum(nums, target, i+1);
        for (vector<int>& subset : subsets) {
            res.push_back({nums[i]});
            res.back().push_back(subset[0]);
            res.back().push_back(subset[1]);
        }
        while (i+1 < nums.size()-2 && nums[i] == nums[i+1]) i++;
    }
    return res;
}
  • 接下來我們試著用上面 3Sum 改寫成最簡單版的 kSum：
    // 假設 nums 已為 sorted array，並配合題目限制將 target 改為 long long
vector<vector<int>> kSum(vector<int>& nums, long long target, int start, int k) {
    vector<vector<int>> res;
    if (nums.size() < k) return res;    // 若數組本身小於 k，則無解
    if (k == 2) return twoSum(nums, target, start);
    for (int i = start; i < nums.size()-k+1; i++) {
        vector<vector<int>> subsets = kSum(nums, target-nums[i], i+1, k-1);
        for (vector<int>& subset : subsets) {
            res.push_back({nums[i]});   // 加入 nums[i]
            res.back().insert(end(res.back()), begin(subset), end(subset));   // 加入符合以 -nums[i] 為 target 的 (k-1)Sum
        }
        while (i+1 < nums.size()-k+1 && nums[i] == nums[i+1]) i++;      // 避免重覆數組解
    }
    return res;
}

三、解題

1. KSum

  • Time complexity: \(O(n^3)\)
  • Space complexity: \(O(1)\)
vector<vector<int>> fourSum(vector<int>& nums, int target) {
    sort(begin(nums), end(nums));       // 注意需先做排序
    return kSum(nums, target, 0, 4);
}

vector<vector<int>> kSum(vector<int>& nums, long long target, int start, int k) {
    vector<vector<int>> res;
    if (nums.size() < k) return res;    // 若數組的大小小於 k 則無解

    // #優化1: 數組已無剩餘數字可用
    if (start == nums.size()) return res;
    // #優化2: 數組的最小值的 k 倍需大於 target，數組的最大值的 k 倍需小於 target，但用乘法會超出 int 範圍，故用除法
    if (target/k < nums[start]|| target/4 > nums.back()) return res;

    if (k == 2) return twoSum(nums, target, start);

    for (int i = start; i < nums.size()-k+1; i++) {
        vector<vector<int>> subsets = kSum(nums, target-nums[i], i+1, k-1);
        for (vector<int>& subset : subsets) {
            res.push_back({nums[i]});   // 加入 nums[i]
            res.back().insert(end(res.back()), begin(subset), end(subset));   // 加入符合以 -nums[i] 為 target 的 (k-1)Sum
        }
        while (i+1 < nums.size()-k+1 && nums[i] == nums[i+1]) i++;      // 避免重覆數組解
    }


    return res;
}

vector<vector<int>> twoSum(vector<int>& nums, int target, int start) {     // nums 為 sorted array
    vector<vector<int>> res;
    int left = start;       // 注意 left pointer 是從 nums[i] 的下一位開始，即 i+1，我們將之訂為 start
    int right = nums.size()-1;
    while (left < right) {
        int sum = nums[left] + nums[right];
        if (sum < target) {
            while (left+1 < right && nums[left] == nums[left+1]) left++;        // 優化，跳過重覆的值
            left++;
        } else if (sum > target) {
            while (right-1 > left && nums[right-1] == nums[right]) right--;     // 優化，跳過重覆的值
            right--;
        } else {
            res.push_back({nums[left], nums[right]});
            while (left+1 < right && nums[left] == nums[left+1]) left++;        // 避免重覆數組
            while (right-1 > left && nums[right-1] == nums[right]) right--;     // 避免重覆數組
            left++;
            right--;
        }
    }
    return res;
}

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