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數位系統與開關電路 在現實世界中，資訊是以類比(Analog)的方式傳遞的，換言之，資訊是連續的 在電腦世界中，資訊是以數位(Digital)的方式傳遞的，也就是開與關或是0或1。 A/D <-> DSP(digital signal processor) <-> D/A Switching Circuit 可分為三個層級： System: 模組Modules、算術運算單元 ALU(Arithmetic logic unit)、記憶體 Memory Logic：邏輯閘(gates) Circuit：電晶體(transistors) 經由 switching network 的設計，可將輸入轉成合乎 spec 的輸出。其中 switching network 的種類包含： Combinational network 輸出是輸入的函數，且表達當下的值。 Sequential network 輸出是輸入的函數，可以表達當下的值或是過去的值。 具有記憶體的行為 Switches 由電晶體來實現 transistor level, gate level, module level… 數字系統與轉換 在現實世界中，最普遍使用的數字系統為十進制(Decimal) 然而在電腦世界中，因為只有代表開與關的 0 與 1，故使用的數字系統是以二進制(Binary)為基礎。 \(N=(a_2a_1a_0)_R=a_2\times R^2+a_1\times R^1+a_0\times R^0\) 負數 N 正數表示 -N 正數加負號 1的補數 2的補數 +0 0000 -0 1000 1111 N/A +1 0001 -1 1001 1110 1111 +2 0010 -2 1010 1101 1110 +3 0011 -3 1011 1100 1101 +4 0100 -4 1100 1011 1100 +5 0101 -5 1101 1010 1011 +6 0110 -6 1110 1001 1010 +7 0111 -7 1111 1000 1001 +8 N/A -8 N/A N/A 1000 二進制算數 當兩數相加或兩數相減時，超過可用bits數時會發生overflow， 例如-3+-4=-4是OK的 但-5+-6=-11會產生溢位 二進制的表達方式 Binary codes Decimal Digit 8421 Code(BCD) 6311 Code Excess-3 Code 2-out-of-5 Code Gray Code 0 0000 0000 0011 00011 0000 1 0001 0001 0100 00101 0001 2 0010 0011 0101 00110 0011 3 0011 0100 0110 01001 0010 4 0100 0101 0111 01010 0110 5 0101 0111 1000 01100 1110 6 0110 1000 1001 10001 1010 7 0111 1001 1010 10010 1011 8 1000 1011 1011 10100 1001 9 1001 1100 1100 11000 1000 Weighted Codes 8421 Code 與 6311 都是 Weighted Code，代表每4個bit，各自代表的數字， 例：1011 for 8421 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 例：1011 for 6311 = 6 + 0 + 1 + 1 = 8 Excess-3 Codes Excess-3 是以 8421 Code 為基礎下，額外加 3。 使得 i 與 10-i 互為 1 的補數， 0 與 9 為補數。(0011 與 1100) 1 與 8 為補數。(0100 與 1011) 2 與 7 為補數。(0101 與 1010) 3 與 6 為補數。(0110 與 1001) 4 與 5 為補數。(0111 與 1000) Gray Codes 兩相鄰的數只會相差一個 bit 又名 Reflected Binary Codes(RBC)、Unit distance code、Minimum error code 可以減少 switching operation 如何轉換 Gray Code?...

基本邏輯運算 Logic Gates Not Gates Symbol Truth Table \( \def\arraystrecth{1.5}\begin{array}{|c|c|}\hline \text{X}&\overline{\text{X}}\text{or}\text{X’}\\\hline 0&1\\\hline 1&0\\\hline \end{array} \) And Gates Symbol Truth Table \( \def\arraystrecth{1.5}\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{X}&\text{Y}&\text{Z=X}\cdot\text{Y}\\\hline 0&0&0\\\hline 0&1&0\\\hline 1&0&0\\\hline 1&1&1\\\hline \end{array} \) Or Gates Symbol Truth Table \( \def\arraystrecth{1.5}\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{X}&\text{Y}&\text{Z=X+Y}\\\hline 0&0&0\\\hline 0&1&1\\\hline 1&0&1\\\hline 1&1&1\\\hline \end{array} \) 布林表達式與真值表(Boolean Expression and Truth Table) Boolean expression 用 ' 代表 NOT 用 + 代表 OR 用 . 代表 AND 將輸入用上面的運算子表示成算式，如：\((A+C)(B’+C)\) Truth Table \( \def\arraystrecth{1.5}\begin{array}{ccc|cccccc} A&B&C&B’&AB’&AB’+C&A+C&B’+C&(A+C)(B’+C)\\\hline 0&0&0&1&0&0&0&1&0\\ 0&0&1&1&0&1&1&1&1\\ 0&1&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&1&1&0&0&1&1&1&1\\ 1&0&0&1&1&1&1&1&1\\ 1&0&1&1&1&1&1&1&1\\ 1&1&0&0&0&0&1&0&0\\ 1&1&1&0&0&1&1&1&1\\ \end{array} \) 基本運算定理 NOT gate 的基本運算定理 \( \boxed{ \def\arraystretch{1....

布林表達式的轉換 將文字敘述轉換成布林表達式： \( \def\arraystrecth{1.5}\begin{array}{l} \underbrace{\text{The alarm will ring}}_ {Z} \text{ iff } \underbrace{\text{the power of alarm is on}} _{A} \text{ and } \underbrace{\text{the door is not closed}} _{B’} \\ \text{ or } \underbrace{\text{it is after 6 p.m.}} _{C} \text{ and } \underbrace{\text{the window is not closed}} _{D’} \end{array} \) \(Z=AB’+CD’\) 由真值表開始建構邏輯電路 Truth Table: \( \boxed{ \def\arraystretch{1}\begin{array}{ccc|c|c} A&B&C&f&f’\\\hline 0&0&0&0&1\\ 0&0&1&0&1\\ 0&1&0&0&1\\ 0&1&1&1&0\\ 1&0&0&1&0\\ 1&0&1&1&0\\ 1&1&0&1&0\\ 1&1&1&1&0 \end{array} } \) 利用 1’s 的函數...

布林邏輯式的簡化 卡諾圖(Karnaugh Maps, K-maps)是一種簡單、快速的簡化布林邏輯的方法。 SOP 將布林邏輯化簡成最簡SOP(Minimum Sum of products) \(F=A’ B’ C’+A’ B’ C+A’ BC’+AB’ C+ABC’ +ABC\) \(F=A’ B’+B’ C+BC’+AB\) \(F=A’ B’+BC’+AC\) POS 將布林邏輯化簡成最簡POS(Minimum Product of Sums) \(F=(A+B’+C+D’)(A+B’+C’+D’)(A+B’+C’+D)(A’+B’+C’+D)(A+B+C’+D)(A’+B+C’+D)\) \(F=(A+B’+D’)(A+B’+C’)(B’+C’+D)(B+C’+D)\) \(F=(A+B’+D)(A+B’+C’)(C’+D)\) \(F=(A+B’+D’)(C’+D)\) 2或3個變數的卡諾圖 簡化2個變數的布林邏輯式 \(F=A’ B’+A’ B\) 布林代數： \(F=A’ B’+A’ B=A’(B’+B)=A’\) 卡諾圖： \( \boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c} \downarrow B\rightarrow A&0&1&\\\hline 0&\text{A=0,B=0}&\text{A=1,B=0}\\\hline 1&\text{A=0,B=1}&\text{A=1,B=1}\\ \end{array} } \rightarrow \boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c} &A’&A&\\\hline B’&1&0\\\hline B&1&0\\ \end{array} } \rightarrow A' \) 簡化3個變數的布林邏輯式 \(F=\sum m(2,3,6)=A’ BC’+A’ BC+ABC’\) 布林代數： \(F=A’ BC’+A’ BC+ABC’=A’ B+BC’\) 卡諾圖：*注意相鄰以grey code排列 \( \boxed{ \def\arraystretch{1....

概要 當變數愈來愈多時，很難依靠人眼判斷，所以必須計設系統化的簡化過程讓電腦運行。 系統化的簡化過程 輸入：minterm expansion 輸出：minimum SOP 步驟： 找出所有質函項，並試著將和項消除到不能再消，利用\(XY+XY’=X\) 利用質函項圖找出最小解 範例：\(F(a,b,c)=a’ b’ c’ + ab’ c’+ab’ c+ abc\) \( \boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c|c|c} &a’ b’&a’ b&ab&ab’\\\hline c’&1&&&1\\\hline c&&&1&1 \end{array} } \) 所有蘊函項：\(a’ b’ c’, ab’ c’, ab’ c, abc, ab’, b’ c’, ac\) 質函項：\(ab’, b’ c’, ac\) 基本質函項：\(b’ c’, ac\) Min SOP：\(F(a,b,c)=b’ c’+ac\) 決定質函項(prime implicants) 找出所有質函項 將每個 minterm 以二進制表示。 統計每個項的1的數量作為 index 並分群。 將分完群的 minterm 以 index 排列。 從 index 最小開始，往 index + 1 的群，尋找可以用\(XY+XY’=X\)簡化的組合 檢查所有的項都合併成組合，留下來的項即為質函項。 重複步驟 4 到 步驟 5 直到沒有函項可以合併。...