布林邏輯式的簡化

  • 卡諾圖(Karnaugh Maps, K-maps)是一種簡單、快速的簡化布林邏輯的方法。

SOP

  • 將布林邏輯化簡成最簡SOP(Minimum Sum of products)
    • F=A’B’C’+A’B’C+A’BC’+AB’C+ABC’+ABCF=A’ B’ C’+A’ B’ C+A’ BC’+AB’ C+ABC’ +ABC
    • F=A’B’+B’C+BC’+ABF=A’ B’+B’ C+BC’+AB
    • F=A’B’+BC’+ACF=A’ B’+BC’+AC

POS

  • 將布林邏輯化簡成最簡POS(Minimum Product of Sums)
    • F=(A+B’+C+D’)(A+B’+C’+D’)(A+B’+C’+D)(A’+B’+C’+D)(A+B+C’+D)(A’+B+C’+D)F=(A+B’+C+D’)(A+B’+C’+D’)(A+B’+C’+D)(A’+B’+C’+D)(A+B+C’+D)(A’+B+C’+D)
    • F=(A+B’+D’)(A+B’+C’)(B’+C’+D)(B+C’+D)F=(A+B’+D’)(A+B’+C’)(B’+C’+D)(B+C’+D)
    • F=(A+B’+D)(A+B’+C’)(C’+D)F=(A+B’+D)(A+B’+C’)(C’+D)
    • F=(A+B’+D’)(C’+D)F=(A+B’+D’)(C’+D)

2或3個變數的卡諾圖

簡化2個變數的布林邏輯式

  • F=A’B’+A’BF=A’ B’+A’ B
    • 布林代數：
      • F=A’B’+A’B=A’(B’+B)=A’F=A’ B’+A’ B=A’(B’+B)=A’
    • 卡諾圖：
      • ↓B→A010A=0,B=0A=1,B=01A=0,B=1A=1,B=1→A’AB’10B10→A′ \boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c} \downarrow B\rightarrow A&0&1&\\\hline 0&\text{A=0,B=0}&\text{A=1,B=0}\\\hline 1&\text{A=0,B=1}&\text{A=1,B=1}\\ \end{array} } \rightarrow \boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c} &A’&A&\\\hline B’&1&0\\\hline B&1&0\\ \end{array} } \rightarrow A'

簡化3個變數的布林邏輯式

  • F=∑m(2,3,6)=A’BC’+A’BC+ABC’F=\sum m(2,3,6)=A’ BC’+A’ BC+ABC’
    • 布林代數：
      • F=A’BC’+A’BC+ABC’=A’B+BC’F=A’ BC’+A’ BC+ABC’=A’ B+BC’
    • 卡諾圖：*注意相鄰以grey code排列
      • ↓BC→A0100m0(000)m4(100)01m1(001)m5(101)11m3(011)m7(111)10m2(010)m6(110)→A’AB’C’00B’C00BC10BC’11→A’B+BC′ \boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c} \downarrow BC\rightarrow A&0&1&\\\hline 00&m_0(000)&m_4(100)\\\hline 01&m_1(001)&m_5(101)\\\hline 11&m_3(011)&m_7(111)\\\hline 10&m_2(010)&m_6(110)\\ \end{array} } \rightarrow \boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c} &A’&A&\\\hline B’ C’&0&0\\\hline B’ C &0&0\\\hline B C &1&0\\\hline B C’ &1&1\\ \end{array} } \rightarrow A’ B+BC'

相鄰(Adjacency)的定義

  • 最上面可以與最下面相接，視為相鄰
  • 最左邊可以與最右邊相接，視為相鄰
    • A’AB’C’00B’C00BC11BC’00→BC \boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c} &A’&A&\\\hline B’ C’&0&0\\\hline B’ C &0&0\\\hline B C &1&1\\\hline B C’ &0&0\\ \end{array} } \rightarrow BC
    • A’AB’C’10B’C00BC00BC’10→A’C′ \boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c} &A’&A&\\\hline B’ C’&1&0\\\hline B’ C &0&0\\\hline B C &0&0\\\hline B C’ &1&0\\ \end{array} } \rightarrow A’ C'

組合的規則

  • 以組合相鄰且以2為倍數為規則
  • 組合的元素愈多愈好
  • 可以重複選(cover)

等效最簡式

  • A’AB’C’10B’C11BC01BC’11→F=A’B’+BC’+AC=A’C’+B’C+AB\boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c} &A’&A&\\\hline B’ C’&1&0\\\hline B’ C &1&1\\\hline B C &0&1\\\hline B C’ &1&1\\ \end{array}} \rightarrow F=A’ B’+BC’+AC=A’ C’+B’C+AB

4個變數的卡諾圖

  • F=ACD+A’B+D’F=ACD+A’ B+D’
  • 以卡諾圖表示
    • A’B’A’BABAB’C’D’1111C’D1CD111CD’11110001111000m0m4m12m801m1m5m13m911m3m7m15m1110m2m6m14m10\boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c|c|c} &A’ B’&A’ B&AB&AB’\\\hline C’ D’&1&1&1&1\\\hline C’ D & &1& & \\\hline C D & &1&1&1\\\hline C D’ &1&1&1&1\\ \end{array}} \quad \boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c|c|c} &00&01&11&10\\\hline 00&m_0&m_4&m_{12}&m_8\\\hline 01&m_1&m_5&m_{13}&m_9\\\hline 11&m_3&m_7&m_{15}&m_{11}\\\hline 10&m_2&m_6&m_{14}&m_{10}\\ \end{array}}

以 min-term expression 方式解題

  • 解 F(a,b,c,d)=∑m(1,3,4,5,10,12,13)F(a,b,c,d)=\sum m(1,3,4,5,10,12,13)
    • 00011110001101111111101→F=bc’+a’b’d+ab’c’d \boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c|c|c} &00&01&11&10\\\hline 00& &1&1& \\\hline 01&1&1&1& \\\hline 11&1& & & \\\hline 10& & & &1\\ \end{array}} \rightarrow F=bc’+a’ b’ d+ab’ c’d

考慮 Don’t care 的情況

  • 解 F(a,b,c,d)=∑m(1,3,5,7,9)+∑d(6,12,13)F(a,b,c,d)=\sum m(1,3,5,7,9)+\sum d(6,12,13)
    • 0001111000X0111X1111110X→F=a’d+c’d \boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c|c|c} &00&01&11&10\\\hline 00& & &X& \\\hline 01&1&1&X&1\\\hline 11&1&1& & \\\hline 10& &X& & \\ \end{array}} \rightarrow F=a’d+c’d

以 max-term expression 方式解題

  • 解 F(a,b,c,d)=∑m(0,2,3,4,8,10,11,15)=∏M(1,5,6,7,9,12,13,14)F(a,b,c,d)=\sum m(0,2,3,4,8,10,11,15)=\prod M(1,5,6,7,9,12,13,14)
    • 000111100000100001101000 \boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c|c|c} &00&01&11&10\\\hline 00& & &0& \\\hline 01&0&0&0&0\\\hline 11& &0& & \\\hline 10& &0&0& \\ \end{array}}
      →F’=c’d+a’bc+abd’\rightarrow F’=c’ d+a’ bc+abd’
      →F=(c+d)(a+b’+c’)(a’+b’+d)\rightarrow F=(c+d)(a+b’+c’)(a’+b’+d)

基本質函項(essential prime implicants)

名詞定義

  • 蘊函項(Implicant)
    • 任何可以被組合的單一或群元素(意指為 FF的子集。)
  • 質函項(Prime Implicant)
    • 已不能再被組合更多的函項。(意指最大的、框選最多的子集)
  • 基本質函項(Essential Prime Implicant)
    • 一個帶有只能被單一質函項框選到的元素的質函項
  • 000111100010111111111101 \boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c|c|c} &00&01&11&10\\\hline 00& & &1& \\\hline 01&1&1&1& \\\hline 11& &1&1&1\\\hline 10& &1& & \\ \end{array}}
    • 蘊函項：A’C’D,ABC’,ACD,A’BC,BD,m1,m5,m6,m7….A’ C’ D, ABC’, ACD, A’ BC, BD, m_1, m_5, m_6, m_7….
    • 質函項：A’C’D,ABC’,ACD,A’BC,BDA’ C’ D, ABC’, ACD, A’ BC, BD
    • 基本質函項：A’C’D,ABC’,A’BC,ACDA’ C’ D,ABC’,A’ BC, ACD

簡化原則

  • 因為有可能存在多個等效的最簡式，所以：
  1. 盡可能將式子展開成質函項(Prime implicants)。
  2. 用盡可能最少的質函項來表式布林函式。
  • 例題
  • 00011110001101111111111011→F=A’B’D+BC’+AC \boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c|c|c} &00&01&11&10\\\hline 00& &1&1& \\\hline 01&1&1&1& \\\hline 11&1& &1&1\\\hline 10& & &1&1\\ \end{array}} \rightarrow F=A’ B’ D+BC’+AC

5個變數的卡諾圖

  • 表示法1 Kmap1
  • 表示法2 Kmap2