Mismatch 的重要性

• Mismatch 就是當元件的結構設計相同，且尺寸相等，發生性質差異的一種行為。
• 當尺寸漸縮，變異(viriability)的程度會愈來愈大。
• 變異(viriability)變大會影響到類比邏輯應用的表現。

Variability/Fluctuation 變異度/誤差定義

• 元件的單體量測值到整體的 Stardard Target 或 Median 的差距。
• 可分為系統誤差與隨機誤差。

Systematic variability 系統誤差 (Global)

• 外質特性(extrinsic)
• 可以透過製程改良或控制來改善
  • W2W: 裝置穩定度 equipment stability
  • Wafer level: 裝置均勻度 equipment uniformity、黃光穩定度 Litho. stability
  • Die level: 黃光均勻度 Litho. uniformity、溫度均勻度 temp. non-uniformity
    • pattern density like poly gate density might impact temperature uniformity
  • Layout-Dependent: 光學偏移效應 Optical proximity effect、機械應力 Mechanical stress

Random variability 隨機誤差 (Local/Mismatch)

• 本質特性(intrinsic)
• 較難被改善
• 沒有空間相關性
• 尺寸漸縮，比例可能被放大
  • 微擾動: 參雜 dopant, LER, …
    • random dopant fluctuation(RDF): dopant diffuse randomly
    • gate dieletric roughness
    • line edge roughness(LER)
    • grain irregularity

統計手法

常態分佈

• 大部分的元件特性都呈常態分布(normal distribution)
• 中央極限定理 Advanced Central Limit Therem: 相互獨立的隨機變數, 其均值以常態分佈為極限
• Sum of normally distributed random variables: 常態分佈的線性組合依然是常態分布
• 可簡單透過 median 與 sigma 來描述一組數據, 並用來預測數據
• 常態分布的函數式為 \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-u)^2}{2\sigma^2}}\)

分析手法

• 透過刪減 outlier 使 rawdata 盡量接近常態分布 (刪除 3倍 sigma 以外的 outlier，重複 6 次)
• 通常 Full mapping 量測(66pts) 會有 0~2 點的 outliers
• 數學公式: A = B + C 且 B 與 C 為不相依的變數時 \((\sigma_A)^2=(\sigma_B)^2+(\sigma_C)^2\) $(\sigma_{total})^2=(\sigma_{global})^2+(\sigma_{local})^2$
• Total:
  • \(\sigma(\text{Vt1,Vt2,…Vtn})\) in wafer
• Global:
  • \((\sigma_{total})^2=(\sigma_{global})^2+(\sigma_{local})^2\)
  • \(\text{Median(Vt1,Vt2,…Vtn)}\)
  • \(\sigma(\text{Med1,Med2,…Medn})\)
• Local:
  • \(\sigma(\text{Vt1,Vt2,…Vtn})\) in die
  • local = \(\sqrt{\frac{\sum\sigma_i}{n}})\)
  • mismatch = \(\sigma(\Delta\text{Vt1},\Delta\text{Vt2},…\Delta\text{Vtn})\)

Mismatch量測

• 量測 Full mapping data
• 將同個 die 裡面的 device pair(the same W & L) 計算差值
  • \(\Delta\text{Vt}=Vt1-Vt2\)
  • \(\Delta\text{Ion}=\frac{2\times(\text{Ion}_1-\text{Ion}_2)}{\text{Ion}_1+\text{Ion}_2}\)
• Normalization
  • 同一組 device pair 內，去除 outlier，使數據接近常態分佈
  • 因為 mismatch 受 sacle 影響，故須對 scale 做正常化 1/sqrt(WL)，Standard variation of mismatch is proportional to inverse of square root of area.
• Draw \(\Delta\text{Vt}-\frac{1}{\sqrt{W/L}}\)圖
  • 斜率即為 Mismatch