基本邏輯運算

Logic Gates

Not Gates

• Symbol
• Truth Table
  $\def\arraystrecth{1.5}\begin{array}{|c|c|}\hline \text{X}&\overline{\text{X}}\text{or}\text{X'}\\\\\hline 0&1\\\\\hline 1&0\\\\\hline \end{array}$

And Gates

• Symbol
• Truth Table
  $\def\arraystrecth{1.5}\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{X}&\text{Y}&\text{Z=X}\cdot\text{Y}\\\\\hline 0&0&0\\\\\hline 0&1&0\\\\\hline 1&0&0\\\\\hline 1&1&1\\\\\hline \end{array}$

Or Gates

• Symbol
• Truth Table $\def\arraystrecth{1.5}\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{X}&\text{Y}&\text{Z=X+Y}\\\\\hline 0&0&0\\\\\hline 0&1&1\\\\\hline 1&0&1\\\\\hline 1&1&1\\\\\hline \end{array}$

布林表達式與真值表(Boolean Expression and Truth Table)

• Boolean expression
  • 用 ' 代表 NOT
  • 用 + 代表 OR
  • 用 . 代表 AND
  • 將輸入用上面的運算子表示成算式，如：$(A+C)(B'+C)$
• Truth Table $\def\arraystrecth{1.5}\begin{array}{ccc|cccccc} A&B&C&B'&AB'&AB'+C&A+C&B'+C&(A+C)(B'+C)\\\\\hline 0&0&0&1&0&0&0&1&0\\\\ 0&0&1&1&0&1&1&1&1\\\\ 0&1&0&0&0&0&0&0&0\\\\ 0&1&1&0&0&1&1&1&1\\\\ 1&0&0&1&1&1&1&1&1\\\\ 1&0&1&1&1&1&1&1&1\\\\ 1&1&0&0&0&0&1&0&0\\\\ 1&1&1&0&0&1&1&1&1\\\\ \end{array}$

基本運算定理

NOT gate 的基本運算定理

$\boxed{ \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{ccc} (x')'&=&x \end{array} }$

AND gate 的基本運算定理

$\boxed{ \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{ccc} x+0&=&x\\\\ x+1&=&1\\\\ x+x&=&x\\\\ x+x'&=&1 \end{array} }$

OR gate 的基本運算定理

$\boxed{ \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{ccc} x\cdot 0&=&0\\\\ x\cdot 1&=&x\\\\ x\cdot x&=&x\\\\ x\cdot x'&=&0 \end{array} }$

進階運算定理

交換律 Commutative Law

$\boxed{ \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{ccc} xy&=&yx\\\\ x+y&=&y+x \end{array} }$

結合律 Associative Law

$\boxed{ \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{ccc} (xy)z&=&x(yz)\\\\ (x+y)+z&=&x+(y+z) \end{array} }$

分配律 Distributive Law

$\boxed{ \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{ccc} x(y+z)&=&xy+xz\\\\ x+yz&=&(x+y)(x+z) \end{array} }$

Multiplying out and factoring

Sum of Product(SOP) form

• 將算式化整成各個輸入端先 AND 後再 OR
• 例： $ABC+AB'C+AB'C'$

Product of Sum(POS) form

• 將算式化整成各個輸入端先 OR 後再 AND
• 例： $(A+B+C)(A+B'+C)(A+B'+C')$

Multiplying out：

• 將算式化簡成 SOP form
• 善用$\boxed{(A+B)(A+C)=A+BC}$
• 範例：
  $(A+BC)(A+D+E)$
  $=(A+x)(A+y)$
  $=A+xy$
  $=A+BC(D+E)$
  $=A+BCD+BCE$

Factoring：

• 將算式化簡成 POS form
• 善用$\boxed{A+BC=(A+B)(A+C)}$
• 範例：
  $AB'+C'D$
  $=(AB'+C')(AB'+D)$
  $=(A+C')(B'+C')(A+D)(B'+D))$

2-level realization

• 利用 Multiplying out 與 Factoring 可以將電路簡化成 2-level circuit
• 因為減少了 Delay propagation 可以減少 Total Time Delay

DeMorgan’s Laws and Duality

DeMorgan’s Laws

• 方法：
  • $AND\leftrightarrow OR$
  • $A\leftrightarrow A'$
    $\boxed{ \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{ccc} (x+y+z+...)'&=&x' y' z'...\\\\ (xyz...)'&=&x'+y'+z'... \end{array} }$
• Truth Table 證明
  $\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{ccc|ccc|c|c|c} x&y&z&x'&y'&z'&x+y+z&(x+y+z)'&x' y' z'\\\\\hline 0&0&0&1&1&1&0&1&1\\\\ 0&0&1&1&1&0&1&0&0\\\\ 0&1&0&1&0&1&1&0&0\\\\ 0&1&1&1&0&0&1&0&0\\\\ 1&0&0&0&1&1&1&0&0\\\\ 1&0&1&0&1&0&1&0&0\\\\ 1&1&0&0&0&1&1&0&0\\\\ 1&1&1&0&0&0&1&0&0\\\\ \end{array}$
• 範例
  $[(A' B+C')(D'+EF')+GH+W]'$
  $=[(A+B')C+D(E'+F)] (G'+H')W'$

Duality

• 方法

  • $AND\leftrightarrow OR$
  • $0\leftrightarrow 1$
    $\boxed{ \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{cccccccccc} [f(&x_1,&x_2,&...,&x_n,&0,&1,&+,&\cdot&)]^D\\\\ =f(&x_1,&x_2,&...,&x_n,&1,&0,&\cdot,&+&) \end{array} }$

• 性質

  • $\boxed{F=G\rightarrow F^D=G^D}$

• 範例
  $(x+y')y=xy\rightarrow x\cdot y'+y=x+y$

• 回顧分配律 Distributive Law，即為 Duality 的表現。
  $\boxed{ \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{ccc} x(y+z)&=&xy+xz\\\\ x+yz&=&(x+y)(x+z) \end{array} }$

Exclusive-OR and equivalence operations

Exlusive-OR(XOR,$\oplus$)

• Symbol
• Truth Table
  $\def\arraystrecth{1.5}\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{X}&\text{Y}&\text{Z=X}\oplus\text{Y}\\\\\hline 0&0&0\\\\\hline 0&1&1\\\\\hline 1&0&1\\\\\hline 1&1&0\\\\\hline \end{array}$
• 性質：
  $\boxed{ \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{ccc} x\oplus 0&=&x\\\\ x\oplus 1&=&x'\\\\ x\oplus x&=&0\\\\ x\oplus x'&=&1\\\\ x\oplus y&=&y\oplus x\\\\ (x\oplus y)\oplus z&=&x\oplus (y\oplus z)\\\\ x(y\oplus z)&=&xy\oplus xz\\\\ x\oplus y&=&xy+x' y' \end{array} }$

Equivalence($\equiv$)

• Symbol
• Truth Table
  $\def\arraystrecth{1.5}\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{X}&\text{Y}&\text{Z=X}\equiv{Y}\\\\\hline 0&0&1\\\\\hline 0&1&0\\\\\hline 1&0&0\\\\\hline 1&1&1\\\\\hline \end{array}$
• 性質：
  $\boxed{ \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{ccc} x\equiv 0&=&x'\\\\ x\equiv 1&=&x\\\\ x\equiv x&=&1\\\\ x\equiv x'&=&0\\\\ x\equiv y&=&y\equiv x\\\\ (x\equiv y)\equiv z&=&x\equiv (y\equiv z)\\\\ x(y\equiv z)&=&xy\equiv xz\\\\ x\equiv y&=&xy'+x' y \end{array} }$

連鎖律 The consensus thorem

• 公式：
  • $\boxed{xy+x' z+yz=xy+x' z}$
  • $\boxed{(x+y)(x'+z)(y+z)=(x+y)(x'+z)}$
• 證明：
  $xy+x' z+yz$
  $=xy+x' z + (x+x')yz$
  $=xy+xyz+x' z+x' yz$
  $=xy(1+z)+x' z(1+y)$
  $=xy+x' z$

簡化布林表達式的流程

1. 利用 $\boxed{xy+xy'=x(y+y')=x}$(AND性質)
2. 利用 $\boxed{x+xy+...=x(1+y+...)=x}$(OR性質)
3. 利用 $\boxed{xy+x' z+yz=xy+x'z }$(連鎖律)
4. 利用 $\boxed{x+x'y=x(y+y')+x'y=xy+xy'+x' y=x+y}$
5. 必要時加入 redundant terms

• Lec3會使用圖表法，較不容易出錯。

如何證明布林表達式的正確性?

1. 建構 Truth Table
2. 簡化 LHS 和 RHS