Mismatch 的重要性 Mismatch 就是當元件的結構設計相同,且尺寸相等,發生性質差異的一種行為。 當尺寸漸縮,變異(viriability)的程度會愈來愈大。 變異(viriability)變大會影響到類比邏輯應用的表現。 Variability/Fluctuation 變異度/誤差定義 元件的單體量測值到整體的 Stardard Target 或 Median 的差距。 可分為系統誤差與隨機誤差。 Systematic variability 系統誤差 (Global) 外質特性(extrinsic) 可以透過製程改良或控制來改善 W2W: 裝置穩定度 equipment stability Wafer level: 裝置均勻度 equipment uniformity、黃光穩定度 Litho. stability Die level: 黃光均勻度 Litho. uniformity、溫度均勻度 temp. non-uniformity pattern density like poly gate density might impact temperature uniformity Layout-Dependent: 光學偏移效應 Optical proximity effect、機械應力 Mechanical stress Random variability 隨機誤差 (Local/Mismatch) 本質特性(intrinsic) 較難被改善 沒有空間相關性 尺寸漸縮,比例可能被放大 微擾動: 參雜 dopant, LER, … random dopant fluctuation(RDF): dopant diffuse randomly gate dieletric roughness line edge roughness(LER) grain irregularity 統計手法 常態分佈 大部分的元件特性都呈常態分布(normal distribution) 中央極限定理 Advanced Central Limit Therem: 相互獨立的隨機變數, 其均值以常態分佈為極限 Sum of normally distributed random variables: 常態分佈的線性組合依然是常態分布 可簡單透過 median 與 sigma 來描述一組數據, 並用來預測數據 常態分布的函數式為 \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-u)^2}{2\sigma^2}}\) 分析手法 透過刪減 outlier 使 rawdata 盡量接近常態分布 (刪除 3倍 sigma 以外的 outlier,重複 6 次) 通常 Full mapping 量測(66pts) 會有 0~2 點的 outliers 數學公式: A = B + C 且 B 與 C 為不相依的變數時 \((\sigma_A)^2=(\sigma_B)^2+(\sigma_C)^2\) $$(\sigma_{total})^2=(\sigma_{global})^2+(\sigma_{local})^2$$ Total: \(\sigma(\text{Vt1,Vt2,…Vtn})\) in wafer Global: \((\sigma_{total})^2=(\sigma_{global})^2+(\sigma_{local})^2\) \(\text{Median(Vt1,Vt2,…Vtn)}\) \(\sigma(\text{Med1,Med2,…Medn})\) Local: \(\sigma(\text{Vt1,Vt2,…Vtn})\) in die local = \(\sqrt{\frac{\sum\sigma_i}{n}})\) mismatch = \(\sigma(\Delta\text{Vt1},\Delta\text{Vt2},…\Delta\text{Vtn})\) Mismatch量測 量測 Full mapping data 將同個 die 裡面的 device pair(the same W & L) 計算差值 \(\Delta\text{Vt}=Vt1-Vt2\) \(\Delta\text{Ion}=\frac{2\times(\text{Ion}_1-\text{Ion}_2)}{\text{Ion}_1+\text{Ion}_2}\) Normalization 同一組 device pair 內,去除 outlier,使數據接近常態分佈 因為 mismatch 受 sacle 影響,故須對 scale 做正常化 1/sqrt(WL),Standard variation of mismatch is proportional to inverse of square root of area....