- 當變數愈來愈多時，很難依靠人眼判斷，所以必須計設系統化的簡化過程讓電腦運行。
- 系統化的簡化過程
- 輸入：minterm expansion
- 輸出：minimum SOP
- 步驟：
- 找出所有質函項，並試著將和項消除到不能再消，利用\(XY+XY’=X\)
- 利用質函項圖找出最小解
- 範例：\(F(a,b,c)=a’ b’ c’ + ab’ c’+ab’ c+ abc\)
- \(
\boxed{
\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c|c|c}
&a’ b’&a’ b&ab&ab’\\\hline
c’&1&&&1\\\hline
c&&&1&1
\end{array}
}
\)
- 所有蘊函項：\(a’ b’ c’, ab’ c’, ab’ c, abc, ab’, b’ c’, ac\)
- 質函項：\(ab’, b’ c’, ac\)
- 基本質函項：\(b’ c’, ac\)
- Min SOP：\(F(a,b,c)=b’ c’+ac\)
決定質函項(prime implicants)#
- 找出所有質函項
- 將每個 minterm 以二進制表示。
- 統計每個項的
1的數量作為 index 並分群。 - 將分完群的 minterm 以 index 排列。
- 從 index 最小開始，往 index + 1 的群，尋找可以用\(XY+XY’=X\)簡化的組合
- 檢查所有的項都合併成組合，留下來的項即為質函項。
- 重複步驟 4 到 步驟 5 直到沒有函項可以合併。
被打勾表示不是質函項(prime implicants)
- 範例：\(f(a,b,c,d)=\sum m(0,1,2,5,6,7,8,9,10,14)\)
- \(f(a,b,c,d)=P1+P2+P3+P4+P5+P6\)
- \(f(a,b,c,d)=a’ c’ d+a’ bd+a’ bc+cd’+b’ d’+b’ c’\)
- \(\boxed{
\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|cc}
&\text{Column I}\\\hline
m_0&0000&\checkmark\\\hline
m_1&0001&\checkmark\\
m_2&0010&\checkmark\\
m_8&1000&\checkmark\\\hline
m_5&0101&\checkmark\\
m_6&0110&\checkmark\\
m_9&1001&\checkmark\\
m_{10}&1010&\checkmark\\\hline
m_7&0111&\checkmark\\
m_{14}&1110&\checkmark
\end{array}
}\)
\(\boxed{
\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|cc}
&\text{Column II}\\\hline
m_0,m_1&000.&\checkmark\\
m_0,m_2&00.0&\checkmark\\
m_0,m_8&.000&\checkmark\\\hline
m_1,m_5&0.01&\text{P1}\\
m_1,m_9&.001&\checkmark\\
m_2,m_6&0.10&\checkmark\\
m_2,m_{10}&.010&\checkmark\\
m_8,m_9&100.&\checkmark\\
m_8,m_{10}&10.0&\checkmark\\\hline
m_5,m_7&01.1&\text{P2}\\
m_6,m_7&011.&\text{P3}\\
m_6,m_{14}&.110&\checkmark\\
m_{10},m_{14}&1.10&\checkmark
\end{array}
}\)
\(\boxed{
\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|cc}
&\text{Column III}\\\hline
m_0,m_1,m_8,m_9&.00.&\text{P4}\\
m_0,m_2,m_8,m_{10}&.0.0&\text{P5}\\
\sout{m_0,m_8,m_1,m_9}&\sout{.00.}\\
\sout{m_0,m_8,m_2,m_{10}}&\sout{.0.0}\\\hline
m_2,m_6,m_{10},m_{14}&..10&\text{P6}\\
\sout{m_2,m_{10},m_6,m_{14}}&\sout{..10}\\
\end{array}
}
\)
質函項圖(表)#
- 範例
- \(
\boxed{
\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{r|l|c|cccccccccc}
& & &0&1&2&5&6&7&8&9&10&14\\\hline
0, 1, 8, 9&b’ c’ &P6&\checkmark&\checkmark&&&&&\checkmark&\oplus\\
0, 2, 8,10&b’ d’ &P5&\checkmark&&\checkmark&&&&\checkmark&&\checkmark\\
2, 6,10,14&c d’ &P4&&&\checkmark&&\checkmark&&&&\checkmark&\oplus\\
1, 5&a’ c’ d&P1&&\checkmark&&\checkmark\\
5, 7&a’ bd &P2&&&&\checkmark&&\checkmark\\
6, 7&a’ bc &P3&&&&&\checkmark&\checkmark\\
\end{array}
}
\)
- \(
\boxed{
\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{r|l|c|cccccccccc}
&&&5&7\\\hline
1,5&a’ c’d&P1&\checkmark\\
5,7&a’ bd &P2&\checkmark&\checkmark\\
6,7&a’ bc &P3&&\checkmark\\
\end{array}
}
\)
- 優先選 \(\oplus\)的質函項(只出現過一次，代表是基本質函項)，如範例\(P6與P4\)。
- 刪除選出的質函項後化簡成更簡化的質函項圖。
- 選可以同時照顧到最多函項的質函項。
- \(\rightarrow f(a,b,c)=P2+P4+P6=a’ bd+cd’+b’ c’\)
- (若沒有基本質函項時，有可以有多個最佳解)
Petrick’s method#
- 用來解出質函項圖的所有 min SOP 解。
- 在使用 Petrick 法前，需將所有基本質函項與其函蓋的 minterms 從表上劃掉。
- 範例：\(F=\sum m(0,1,2,5,6,7)\)
\(
\boxed{
\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{r|l|c|cccccc}
P1&0,1&a’ b’&\checkmark&\checkmark\\
P2&0,2&a’ c’&\checkmark&&\checkmark\\
P3&1,5&b’ c &&\checkmark&&\checkmark\\
P4&2,6&b c’&&&\checkmark&&\checkmark\\
P5&5,7&a c &&&&\checkmark&&\checkmark\\
P6&6,7&a b &&&&&\checkmark&\checkmark\\
\end{array}
}
\)- \(\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{l}
0\rightarrow P1+P2\\
1\rightarrow P1+P3\\
2\rightarrow P2+P4\\
5\rightarrow P3+P5\\
6\rightarrow P4+P6\\
7\rightarrow P5+P6\\
\end{array}\)
- \(P=(P1+P2)(P1+P3)(P2+P4)(P3+P5)(P4+P6)(P5+P6)=1\)
- \(P=(P1+P2P3)(P4+P2P6)(P5+P3P6)\)
- \(P=P1P4P5+P1P2P5P6+P2P3P4P5+P2P3P5P6+P1P3P4P6+P1P2P3P6+P2P3P4P6+P2P3P6\)
- 刪掉含有\(P2P3P6\)的和項
- \(P=P1P4P5+P1P2P5P6+P2P3P4P5+P1P3P4P6+P2P3P6\)
- \(\text{min Sol:}\)
- \(F=P1+P4+P5=a’ b’+bc’+ac\)
- \(F=P2+P3+P6=a’ c’+b’ c+ab\)
考慮 Don’t Care 的情形#
- 稍微修改一下 Quine-McClusky 方法
- 找出所有質函項：將DC視為minterms
- 建構出質函項表：DC不必列在表頭
- 範例：\(F(A,B,C,D)=\sum m(2,3,7,9,11,13)+\sum d(1,10,15)\)
- \(\boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{rrl}
1&0001&\checkmark\\
2&0010&\checkmark\\\hline
3&0011&\checkmark\\
9&1001&\checkmark\\
10&1010&\checkmark\\\hline
7&0111&\checkmark\\
11&1011&\checkmark\\
13&1101&\checkmark\\\hline
15&1111&\checkmark
\end{array}}\)
\(\boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{rrl}
1,3&00.1&\checkmark\\
1,9&.001&\checkmark\\
2,3&001.&\checkmark\\
2,10&.01.&\checkmark\\\hline
3,7&0.11&\checkmark\\
3,11&.011&\checkmark\\
9,11&10.1&\checkmark\\
9,13&1.01&\checkmark\\
10,11&101.&\checkmark\\\hline
7,15&.111&\checkmark\\
11,15&1.11&\checkmark\\
13,15&11.1&\checkmark\\
\end{array}}\)
\(\boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{rrl}
1,3,9,11&.0.1\\
2,3,10,11,&.01.\\
3,7,11,15&..11\\
9,11,13,15&1..1\\
\end{array}}\)
- \(\boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{r|cccccc}
&2&3&7&9&11&13\\\hline
1,3,9,11&&\checkmark&&\checkmark&\checkmark\\
*2,3,10,11&\oplus&\checkmark&&&\checkmark\\
*3,7,11,15&&\checkmark&\oplus&&\checkmark\\
*9,11,13,15&&&&\checkmark&\checkmark&\oplus\\
\end{array}}\)
- \(F=B’ C+CD+AD\)
- 其中 1 被當作 0，10、15當作1。