Multi-level gate circuits

• 如何決定 level 數：
  1. Gate input number & Delay determine level
  2. Factoring to accomplish different level
  • AND-OR: 2-level SOP
  • OR-AND: 2-level POS
  • OR-AND-OR: 3-level circuit of AND and OR → no particular ordering
• 4 level gates: $\text{Z=(AB+C)(FG+D+E)+H}$
• 3 level gates: (case fan out) $\text{AB(D+E)+C(D+E)+ABFG+CFG+H}$
  • Factoring 可變成 4-level $\text{(AB+C)(D+E+FG)+H}$
• level & gate & gate inputs 的關係會隨之變化，可根據電路設計的需求改變
  • 範例：
  • $\begin{array}{llll} f(a,b,c,d)=\sum(1,5,6,10,13,14)\\ f=(c+d)(a’+b+c)(c’+d’)(a+b+c’)&\text{2 levels}&\text{5 gates}&\text{14 gate inputs}\\ f=[c+d(a’+b)][c’+d’(a+b)]&\text{4 levels}&\text{7 gates}&\text{14 gate inputs}\\ f=(c+a’ d+bd)(c’+ad’+bd’)&\text{3 levels}&\text{7 gates}&\text{16 gate inputs}\\ f=a’ c’ d+bc’ d+bcd’+acd’&\text{2 levels}&\text{5 gates}&\text{16 gate inputs}\\ f=c’ d(a’+b)+cd’(a+b)&\text{3 levels}&\text{5 gates}&\text{12 gate inputs} \end{array}$
  • $\boxed{\begin{array}{c|c|c|c|c} &00&01&11&10\\\hline 00&m_0&m_4&m_{12}&m_{8}\\\hline 01&m_1&m_5&m_{13}&m_{9}\\\hline 11&m_3&m_7&m_{15}&m_{11}\\\hline 10&m_2&m_6&m_{14}&m_{10} \end{array}}\rightarrow \boxed{\begin{array}{c|c|c|c|c} &00&01&11&10\\\hline 00&&&&\\\hline 01&1&1&1&\\\hline 11&&&&\\\hline 10&&1&1&1 \end{array}}$
  • $\boxed{\begin{array}{c|c|c|c|c} &a’ b’&a’ b&ab&ab’\\\hline c’ d’&&&&\\\hline c’ d&1&1&1&\\\hline cd&&&&\\\hline cd’&&1&1&1 \end{array}}\\ =a’ c’ d+bc’ d+bcd’+acd’=(a’+b)c’ d+(a+b)cd’\\ =(c’ d’+ab’ c’+cd+a’ b’ c)’=(c+d)(a’+b+c)(c’+d’)(a+b+c’)\\ =[c+d(a’+b)][c’+d’(a+b)]=(c+a’ d+bd)(c’+ad’+bd’)$

NAND and NOR gates

NAND

• 符號
• 真值表
  $\boxed{\begin{array}{cc|cc} A&B&AB&\overline{AB}\\\hline 0&0&0&1\\ 0&1&0&1\\ 1&0&0&1\\ 1&1&1&0 \end{array}}$
• 布林表達式：
  $F=(ABC)’=A’+B’+C’$

NOR

• 符號
• 真值表
  $\boxed{\begin{array}{cc|cc} A&B&AB&\overline{AB}\\\hline 0&0&0&1\\ 0&1&1&0\\ 1&0&1&0\\ 1&1&1&0 \end{array}}$
• 布林表達式：
  • $F=(A+B+C)’=A’ B’ C’$

Functionally Complete Sets of Gates

• 定義：當所有的布林式皆可以被這組邏輯閘組合而成，則這組邏輯閘為 Functionally Complete
  • $\lbrace{\text{AND, OR, NOT}}\rbrace$
  • $\lbrace{\text{AND, NOT}}\rbrace\rightarrow \text{OR}=X+Y=(X’ Y’)’$
  • $\lbrace{\text{OR, NOT}}\rbrace\rightarrow \text{AND}=XY=(X’+Y’)’$
  • $\lbrace{\text{NAND}}\rbrace$
  • $\lbrace{\text{NOR}}\rbrace$
  • $\lbrace{\text{3-input Minority Gate}}\rbrace$

Majority Gate and Minority Gate

• 真值表
  $\boxed{\begin{array}{ccc|cc} A&B&C&F_M&F_m\\\hline 0&0&0&0&1\\ 0&0&1&0&1\\ 0&1&0&0&1\\ 0&1&1&1&0\\ 1&0&0&0&1\\ 1&0&1&1&0\\ 1&1&0&1&0\\ 1&1&1&1&0 \end{array}}$
  • $\text{(0, B, C)}\rightarrow\boxed{\text{Minority Gate}}=\text{NAND}=\text{(BC)’=\text{B’+C’}}$
  • $\text{(1, B, C)}\rightarrow\boxed{\text{Minority Gate}}=\text{NOR}=\text{(B+C)’=\text{B’C’}}$
  • $\text{(A, A, A)}\rightarrow\boxed{\text{Minority Gate}}=\text{NOT}=\text{A’}$
  • $\text{(0, B’, C’)}\rightarrow\boxed{\text{Minority Gate}}=\text{AND}=\text{BC}$
  • $\text{(1, B’, C’)}\rightarrow\boxed{\text{Minority Gate}}=\text{OR}=\text{B+C}$

2-level NAND and NOR gates

DeMorgon’s Law

• 等效邏輯閘：
  • $(A+B)’=A’ B’$
  • $(AB)’=A’+B’$
  • $A+B=(A’ B’)’$
  • $AB=(A’+B’)’$
• $\text{Ex1: AND/OR}\rightarrow\text{NAND/NAND}$
  • 
• $\text{Ex2: AND/OR}\rightarrow\text{NOR/NOR}$
  • 

Multi-level NAND and NOR circuits

• Multi-level NAND and NOR circuits
  • $\text{to NAND gate}$
    
  • $\text{to NOR gate}$

Multi-output circuit realization

• 實際一個多工器(multiplexer)內的電路實現，可以用 fan out 的方式達到最佳化。
• 整體最佳不一定代表個別都為最佳。
• 實作1:
  • $F_1(A,B,C,D)=\sum m(11,12,13,14,15) =AB+ACD \\ F_2(A,B,C,D)=\sum m(3,7,11,12,13,15)=ABC’+CD\\ F_3(A,B,C,D)=\sum m(3,7,12,13,14,15)=A’ CD+AB\\$
  • $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline F_1&00&01&11&10\\\hline 00& & & 1& \\\hline 01& & & 1& \\\hline 11& & & 1& 1\\\hline 10& & & 1& \\\hline \end{array}\quad \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline F_2&00&01&11&10\\\hline 00& & & 1& \\\hline 01& & & 1& \\\hline 11& 1& 1& 1& 1\\\hline 10& & & & \\\hline \end{array}\quad \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline F_3&00&01&11&10\\\hline 00& & &1 & \\\hline 01& & &1 & \\\hline 11& 1&1 &1 & \\\hline 10& & &1 & \\\hline \end{array}$ $\text{9 Gates, 21 Gate inputs}\rightarrow\text{7 Gates, 18 Gate inputs}$
  • $\text{Share AB(fan out)}$
  • $\text{A’CD+ACD=CD}$
    • $F_1(A,B,C,D)=AB+ACD \\ F_2(A,B,C,D)=ABC’+ACD+A’ CD\\ F_3(A,B,C,D)=A’ CD+AB\\ \lbrace{AB,A’ CD,ACD,ABC’}\rbrace$
• 實作2:
  • $f_1=\sum m(2,3,5,7,8,9,10,11,13,15)=bd+b’ c+ab’\\ f_2=\sum m(2,3,5,6,7,10,11,14,15)=a’ bd+c\\ f_3=\sum m(6,7,8,9,13,14,15)=bc+ab’ c’+abd\\ \rightarrow\text{10 Gates, 25 Gate inputs}$
  • $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline f_1&00&01&11&10\\\hline 00& & & &1 \\\hline 01& &1 &1 &1 \\\hline 11&1 &1 &1 &1 \\\hline 10&1 & & &1 \\\hline \end{array}\quad \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline f_2&00&01&11&10\\\hline 00& & & & \\\hline 01& &1 & & \\\hline 11&1 &1 &1 &1 \\\hline 10&1 &1 &1 &1 \\\hline \end{array}\quad \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline f_3&00&01&11&10\\\hline 00& & & &1 \\\hline 01& & &1 &1 \\\hline 11& &1 &1 & \\\hline 10& &1 &1 & \\\hline \end{array}$
  • $\text{(1) } b’ c+bc = c\\ \text{(2) } a’ bd+abd = bd\\ \text{用}\lbrace{b’ c, bc, a’bd, abd, ab’ c’}\rbrace\text{組合上例}$
  • $f_1=b’ c+(abd+a’ bd)+ab’ c’\\ f_2=(b’ c+ bc)+a’ bd\\ f_3=bc+abd+ab’ c’\\ \lbrace {b’ c,bc,abd,a’ bd,ab’ c’}\rbrace\\ \rightarrow\text{8 Gates, 23 Gate inputs}$
• 實作3:
  • $f_1=\sum m(1,5,9,13,15)=c’ d+abd\\ f_2=\sum m(4,6,12,14,15)=bd’+abc\\ \rightarrow\text{6 Gates, 14 Gate inputs}$
  • $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline f_1&00&01&11&10\\\hline 00& & & & \\\hline 01& 1& 1& 1& 1\\\hline 11& & & 1& \\\hline 10& & & & \\\hline \end{array}\quad \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline f_2&00&01&11&10\\\hline 00& & 1& 1& \\\hline 01& & & & \\\hline 11& & & 1& \\\hline 10& & 1& 1& \\\hline \end{array}$
  • 使上面兩式共用 $abcd$
  • $f_1=c’ d+abcd\\ f_2=bd’+abcd\\ \rightarrow\text{5 Gates, 12 Gate inputs}$
• 實作4:
  • $f_1=\sum m(0,3,4,5,6,14)=a’ c’ d’+a’ bc’+a’ cd’+bcd’\\ f_2=\sum m(0,1,4,6,8,10)=a’ c’ d’+bc’ d’+a’ b’ c’+bcd’\\ \rightarrow\text{8 Gates, 26 Gate inputs}$
  • $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline f_1&00&01&11&10\\\hline 00& 1& 1& & \\\hline 01& & 1& & \\\hline 11& & & & \\\hline 10& 1& 1& 1& \\\hline \end{array}\quad \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline f_1&00&01&11&10\\\hline 00& 1& 1& 1& \\\hline 01& 1& & & \\\hline 11& & & & \\\hline 10& & 1& 1& \\\hline \end{array}$
  • 不 combine 各自做最佳化
  • $f_1=a’ d’+a’ bc’+bcd’\\ f_2=a’ b’ c’+bd’\\ \rightarrow\text{7 Gates, 18 Gate Inputs}$

多輸出電路的基本質函項

• 參考實作3，若基本質函項可通過多工器中其他的輸入共用的話，則對多輸出電路而言並非基本質函項(Essential prime terms)。
• 參考實作4，$a’ d’(m_2),a’ bc’(m_5), a’ b’ c’(m_1), bd’(m_{12})$皆為基本質函項。
• 一般而言，不會為了共享而把基本質函項拆開。

和項共用(Shared by sum terms)

• 真值表
  $\begin{array}{|cccc|cccc:c|}\hline a&b&c&d&w&x&y&z&\\\hline 0&0&0&0&0&0&1&1&0\\\hline 0&0&0&1&0&1&0&0&1\\\hline 0&0&1&0&0&1&0&1&2\\\hline 0&0&1&1&0&1&1&0&3\\\hline 0&1&0&0&0&1&1&1&4\\\hline 0&1&0&1&1&0&0&0&5\\\hline 0&1&1&0&1&0&0&1&6\\\hline 0&1&1&1&1&0&1&0&7\\\hline 1&0&0&0&1&0&1&1&8\\\hline 1&0&0&1&1&1&0&0&9\\\hline 1&0&1&0&X&X&X&X&\\\hline 1&0&1&1&X&X&X&X&\\\hline 1&1&0&0&X&X&X&X&\\\hline 1&1&0&1&X&X&X&X&\\\hline 1&1&1&0&X&X&X&X&\\\hline 1&1&1&1&X&X&X&X&\\\hline \end{array}$
• k-map
  $\begin{array}{|c|c|c|c|c||}\hline w&00&01&11&10\\\hline 00& & & X& 1\\\hline 01& & 1& X& 1\\\hline 11& & 1& X& X\\\hline 10& & 1& X& X\\\hline \end{array} \begin{array}{|c|c|c|c|c||}\hline x&00&01&11&10\\\hline 00& & 1& X& \\\hline 01& 1& & X& 1\\\hline 11& 1& & X& X\\\hline 10& 1& & X& X\\\hline \end{array} \begin{array}{|c|c|c|c|c||}\hline y&00&01&11&10\\\hline 00& 1& 1& X& 1\\\hline 01& & & X& \\\hline 11& 1& 1& X& X\\\hline 10& & & X& X\\\hline \end{array} \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline z&00&01&11&10\\\hline 00& 1& 1& X& 1\\\hline 01& & & X& \\\hline 11& & & X& X\\\hline 10& 1& 1& X& X\\\hline \end{array}$
• $w=a+bc+bd=a+b(c+d)\\ x=bc’ d’+b’ d+b’ c=bc’ d’+b’(c+d)\\ y=c’ d’+cd\\ z=d'$
• Sum terms 也可以 share
• Multi-output circuits 也可以只用 $\text{NAND/NOR}$ 表示

Multi-Output NAND/NOR circuits

• 範例
  • $\text{to NAND}$
  • $\text{to NOR}$