布林邏輯式的簡化

• 卡諾圖(Karnaugh Maps, K-maps)是一種簡單、快速的簡化布林邏輯的方法。

SOP

• 將布林邏輯化簡成最簡SOP(Minimum Sum of products)
  • $F=A' B' C'+A' B' C+A' BC'+AB' C+ABC' +ABC$
  • $F=A' B'+B' C+BC'+AB$
  • $F=A' B'+BC'+AC$

POS

• 將布林邏輯化簡成最簡POS(Minimum Product of Sums)
  • $F=(A+B'+C+D')(A+B'+C'+D')(A+B'+C'+D)(A'+B'+C'+D)(A+B+C'+D)(A'+B+C'+D)$
  • $F=(A+B'+D')(A+B'+C')(B'+C'+D)(B+C'+D)$
  • $F=(A+B'+D)(A+B'+C')(C'+D)$
  • $F=(A+B'+D')(C'+D)$

2或3個變數的卡諾圖

簡化2個變數的布林邏輯式

• $F=A' B'+A' B$
  • 布林代數：
    • $F=A' B'+A' B=A'(B'+B)=A'$
  • 卡諾圖：
    • $\boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c} \downarrow B\rightarrow A&0&1&\\\\\hline 0&\text{A=0,B=0}&\text{A=1,B=0}\\\\\hline 1&\text{A=0,B=1}&\text{A=1,B=1}\\\\ \end{array} } \rightarrow \boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c} &A'&A&\\\\\hline B'&1&0\\\\\hline B&1&0\\\\ \end{array} } \rightarrow A'$

簡化3個變數的布林邏輯式

• $F=\sum m(2,3,6)=A' BC'+A' BC+ABC'$
  • 布林代數：
    • $F=A' BC'+A' BC+ABC'=A' B+BC'$
  • 卡諾圖：*注意相鄰以grey code排列
    • $\boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c} \downarrow BC\rightarrow A&0&1&\\\\\hline 00&m_0(000)&m_4(100)\\\\\hline 01&m_1(001)&m_5(101)\\\\\hline 11&m_3(011)&m_7(111)\\\\\hline 10&m_2(010)&m_6(110)\\\\ \end{array} } \rightarrow \boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c} &A'&A&\\\\\hline B' C'&0&0\\\\\hline B' C &0&0\\\\\hline B C &1&0\\\\\hline B C' &1&1\\\\ \end{array} } \rightarrow A' B+BC'$

相鄰(Adjacency)的定義

• 最上面可以與最下面相接，視為相鄰
• 最左邊可以與最右邊相接，視為相鄰
  • $\boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c} &A'&A&\\\\\hline B' C'&0&0\\\\\hline B' C &0&0\\\\\hline B C &1&1\\\\\hline B C' &0&0\\\\ \end{array} } \rightarrow BC$
  • $\boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c} &A'&A&\\\\\hline B' C'&1&0\\\\\hline B' C &0&0\\\\\hline B C &0&0\\\\\hline B C' &1&0\\\\ \end{array} } \rightarrow A' C'$

組合的規則

• 以組合相鄰且以2為倍數為規則
• 組合的元素愈多愈好
• 可以重複選(cover)

等效最簡式

• $\boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c} &A'&A&\\\\\hline B' C'&1&0\\\\\hline B' C &1&1\\\\\hline B C &0&1\\\\\hline B C' &1&1\\\\ \end{array}} \rightarrow F=A' B'+BC'+AC=A' C'+B'C+AB$

4個變數的卡諾圖

• $F=ACD+A' B+D'$
• 以卡諾圖表示
  • $\boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c|c|c} &A' B'&A' B&AB&AB'\\\\\hline C' D'&1&1&1&1\\\\\hline C' D & &1& & \\\\\hline C D & &1&1&1\\\\\hline C D' &1&1&1&1\\\\ \end{array}} \quad \boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c|c|c} &00&01&11&10\\\\\hline 00&m_0&m_4&m_{12}&m_8\\\\\hline 01&m_1&m_5&m_{13}&m_9\\\\\hline 11&m_3&m_7&m_{15}&m_{11}\\\\\hline 10&m_2&m_6&m_{14}&m_{10}\\\\ \end{array}}$

以 min-term expression 方式解題

• 解 $F(a,b,c,d)=\sum m(1,3,4,5,10,12,13)$
  • $\boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c|c|c} &00&01&11&10\\\\\hline 00& &1&1& \\\\\hline 01&1&1&1& \\\\\hline 11&1& & & \\\\\hline 10& & & &1\\\\ \end{array}} \rightarrow F=bc'+a' b' d+ab' c'd$

考慮 Don’t care 的情況

• 解 $F(a,b,c,d)=\sum m(1,3,5,7,9)+\sum d(6,12,13)$
  • $\boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c|c|c} &00&01&11&10\\\\\hline 00& & &X& \\\\\hline 01&1&1&X&1\\\\\hline 11&1&1& & \\\\\hline 10& &X& & \\\\ \end{array}} \rightarrow F=a'd+c'd$

以 max-term expression 方式解題

• 解 $F(a,b,c,d)=\sum m(0,2,3,4,8,10,11,15)=\prod M(1,5,6,7,9,12,13,14)$
  • $\boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c|c|c} &00&01&11&10\\\\\hline 00& & &0& \\\\\hline 01&0&0&0&0\\\\\hline 11& &0& & \\\\\hline 10& &0&0& \\\\ \end{array}}$
    $\rightarrow F'=c' d+a' bc+abd'$
    $\rightarrow F=(c+d)(a+b'+c')(a'+b'+d)$

基本質函項(essential prime implicants)

名詞定義

• 蘊函項(Implicant)
  • 任何可以被組合的單一或群元素(意指為 $F$的子集。)
• 質函項(Prime Implicant)
  • 已不能再被組合更多的函項。(意指最大的、框選最多的子集)
• 基本質函項(Essential Prime Implicant)
  • 一個帶有只能被單一質函項框選到的元素的質函項
• $\boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c|c|c} &00&01&11&10\\\\\hline 00& & &1& \\\\\hline 01&1&1&1& \\\\\hline 11& &1&1&1\\\\\hline 10& &1& & \\\\ \end{array}}$
  • 蘊函項：$A' C' D, ABC', ACD, A' BC, BD, m_1, m_5, m_6, m_7....$
  • 質函項：$A' C' D, ABC', ACD, A' BC, BD$
  • 基本質函項：$A' C' D,ABC',A' BC, ACD$

簡化原則

• 因為有可能存在多個等效的最簡式，所以：

1. 盡可能將式子展開成質函項(Prime implicants)。
2. 用盡可能最少的質函項來表式布林函式。

• 例題
• $\boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c|c|c} &00&01&11&10\\\\\hline 00& &1&1& \\\\\hline 01&1&1&1& \\\\\hline 11&1& &1&1\\\\\hline 10& & &1&1\\\\ \end{array}} \rightarrow F=A' B' D+BC'+AC$

5個變數的卡諾圖

• 表示法1
• 表示法2