概要

• 當變數愈來愈多時，很難依靠人眼判斷，所以必須計設系統化的簡化過程讓電腦運行。
• 系統化的簡化過程
  • 輸入：minterm expansion
  • 輸出：minimum SOP
  • 步驟：
    1. 找出所有質函項，並試著將和項消除到不能再消，利用$XY+XY'=X$
    2. 利用質函項圖找出最小解

• 範例：$F(a,b,c)=a' b' c' + ab' c'+ab' c+ abc$
  • $\boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c|c|c} &a' b'&a' b&ab&ab'\\\\\hline c'&1&&&1\\\\\hline c&&&1&1 \end{array} }$
  • 所有蘊函項：$a' b' c', ab' c', ab' c, abc, ab', b' c', ac$
  • 質函項：$ab', b' c', ac$
  • 基本質函項：$b' c', ac$
  • Min SOP：$F(a,b,c)=b' c'+ac$

決定質函項(prime implicants)

• 找出所有質函項
  1. 將每個 minterm 以二進制表示。
  2. 統計每個項的1的數量作為 index 並分群。
  3. 將分完群的 minterm 以 index 排列。
  4. 從 index 最小開始，往 index + 1 的群，尋找可以用$XY+XY'=X$簡化的組合
  5. 檢查所有的項都合併成組合，留下來的項即為質函項。
  6. 重複步驟 4 到 步驟 5 直到沒有函項可以合併。
     被打勾表示不是質函項(prime implicants)
• 範例：$f(a,b,c,d)=\sum m(0,1,2,5,6,7,8,9,10,14)$
  • $f(a,b,c,d)=P1+P2+P3+P4+P5+P6$
  • $f(a,b,c,d)=a' c' d+a' bd+a' bc+cd'+b' d'+b' c'$
  • $\boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|cc} &\text{Column I}\\\\\hline m_0&0000&\checkmark\\\\\hline m_1&0001&\checkmark\\\\ m_2&0010&\checkmark\\\\ m_8&1000&\checkmark\\\\\hline m_5&0101&\checkmark\\\\ m_6&0110&\checkmark\\\\ m_9&1001&\checkmark\\\\ m_{10}&1010&\checkmark\\\\\hline m_7&0111&\checkmark\\\\ m_{14}&1110&\checkmark \end{array} }$ $\boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|cc} &\text{Column II}\\\\\hline m_0,m_1&000.&\checkmark\\\\ m_0,m_2&00.0&\checkmark\\\\ m_0,m_8&.000&\checkmark\\\\\hline m_1,m_5&0.01&\text{P1}\\\\ m_1,m_9&.001&\checkmark\\\\ m_2,m_6&0.10&\checkmark\\\\ m_2,m_{10}&.010&\checkmark\\\\ m_8,m_9&100.&\checkmark\\\\ m_8,m_{10}&10.0&\checkmark\\\\\hline m_5,m_7&01.1&\text{P2}\\\\ m_6,m_7&011.&\text{P3}\\\\ m_6,m_{14}&.110&\checkmark\\\\ m_{10},m_{14}&1.10&\checkmark \end{array} }$ $\boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|cc} &\text{Column III}\\\\\hline m_0,m_1,m_8,m_9&.00.&\text{P4}\\\\ m_0,m_2,m_8,m_{10}&.0.0&\text{P5}\\\\ \sout{m_0,m_8,m_1,m_9}&\sout{.00.}\\\\ \sout{m_0,m_8,m_2,m_{10}}&\sout{.0.0}\\\\\hline m_2,m_6,m_{10},m_{14}&..10&\text{P6}\\\\ \sout{m_2,m_{10},m_6,m_{14}}&\sout{..10}\\\\ \end{array} }$

質函項圖(表)

• 範例
  • $\boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{r|l|c|cccccccccc} & & &0&1&2&5&6&7&8&9&10&14\\\\\hline 0, 1, 8, 9&b' c' &P6&\checkmark&\checkmark&&&&&\checkmark&\oplus\\\\ 0, 2, 8,10&b' d' &P5&\checkmark&&\checkmark&&&&\checkmark&&\checkmark\\\\ 2, 6,10,14&c d' &P4&&&\checkmark&&\checkmark&&&&\checkmark&\oplus\\\\ 1, 5&a' c' d&P1&&\checkmark&&\checkmark\\\\ 5, 7&a' bd &P2&&&&\checkmark&&\checkmark\\\\ 6, 7&a' bc &P3&&&&&\checkmark&\checkmark\\\\ \end{array} }$
  • $\boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{r|l|c|cccccccccc} &&&5&7\\\\\hline 1,5&a' c'd&P1&\checkmark\\\\ 5,7&a' bd &P2&\checkmark&\checkmark\\\\ 6,7&a' bc &P3&&\checkmark\\\\ \end{array} }$
  • 優先選 $\oplus$的質函項(只出現過一次，代表是基本質函項)，如範例$P6與P4$。
  • 刪除選出的質函項後化簡成更簡化的質函項圖。
  • 選可以同時照顧到最多函項的質函項。
  • $\rightarrow f(a,b,c)=P2+P4+P6=a' bd+cd'+b' c'$
  • (若沒有基本質函項時，有可以有多個最佳解)

Petrick’s method

• 用來解出質函項圖的所有 min SOP 解。
• 在使用 Petrick 法前，需將所有基本質函項與其函蓋的 minterms 從表上劃掉。
• 範例：$F=\sum m(0,1,2,5,6,7)$
  $\boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{r|l|c|cccccc} P1&0,1&a' b'&\checkmark&\checkmark\\\\ P2&0,2&a' c'&\checkmark&&\checkmark\\\\ P3&1,5&b' c &&\checkmark&&\checkmark\\\\ P4&2,6&b c'&&&\checkmark&&\checkmark\\\\ P5&5,7&a c &&&&\checkmark&&\checkmark\\\\ P6&6,7&a b &&&&&\checkmark&\checkmark\\\\ \end{array} }$
  • $\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{l} 0\rightarrow P1+P2\\\\ 1\rightarrow P1+P3\\\\ 2\rightarrow P2+P4\\\\ 5\rightarrow P3+P5\\\\ 6\rightarrow P4+P6\\\\ 7\rightarrow P5+P6\\\\ \end{array}$
  • $P=(P1+P2)(P1+P3)(P2+P4)(P3+P5)(P4+P6)(P5+P6)=1$
  • $P=(P1+P2P3)(P4+P2P6)(P5+P3P6)$
  • $P=P1P4P5+P1P2P5P6+P2P3P4P5+P2P3P5P6+P1P3P4P6+P1P2P3P6+P2P3P4P6+P2P3P6$
  • 刪掉含有$P2P3P6$的和項
  • $P=P1P4P5+P1P2P5P6+P2P3P4P5+P1P3P4P6+P2P3P6$
  • $\text{min Sol:}$
    • $F=P1+P4+P5=a' b'+bc'+ac$
    • $F=P2+P3+P6=a' c'+b' c+ab$

考慮 Don’t Care 的情形

• 稍微修改一下 Quine-McClusky 方法
  1. 找出所有質函項：將DC視為minterms
  2. 建構出質函項表：DC不必列在表頭
• 範例：$F(A,B,C,D)=\sum m(2,3,7,9,11,13)+\sum d(1,10,15)$
  • $\boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{rrl} 1&0001&\checkmark\\\\ 2&0010&\checkmark\\\\\hline 3&0011&\checkmark\\\\ 9&1001&\checkmark\\\\ 10&1010&\checkmark\\\\\hline 7&0111&\checkmark\\\\ 11&1011&\checkmark\\\\ 13&1101&\checkmark\\\\\hline 15&1111&\checkmark \end{array}}$ $\boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{rrl} 1,3&00.1&\checkmark\\\\ 1,9&.001&\checkmark\\\\ 2,3&001.&\checkmark\\\\ 2,10&.01.&\checkmark\\\\\hline 3,7&0.11&\checkmark\\\\ 3,11&.011&\checkmark\\\\ 9,11&10.1&\checkmark\\\\ 9,13&1.01&\checkmark\\\\ 10,11&101.&\checkmark\\\\\hline 7,15&.111&\checkmark\\\\ 11,15&1.11&\checkmark\\\\ 13,15&11.1&\checkmark\\\\ \end{array}}$ $\boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{rrl} 1,3,9,11&.0.1\\\\ 2,3,10,11,&.01.\\\\ 3,7,11,15&..11\\\\ 9,11,13,15&1..1\\\\ \end{array}}$
  • $\boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{r|cccccc} &2&3&7&9&11&13\\\\\hline 1,3,9,11&&\checkmark&&\checkmark&\checkmark\\\\ *2,3,10,11&\oplus&\checkmark&&&\checkmark\\\\ *3,7,11,15&&\checkmark&\oplus&&\checkmark\\\\ *9,11,13,15&&&&\checkmark&\checkmark&\oplus\\\\ \end{array}}$
  • $F=B' C+CD+AD$
  • 其中 1 被當作 0，10、15當作1。