基本邏輯運算

Logic Gates

Not Gates

• Symbol
• Truth Table
  \( \def\arraystrecth{1.5}\begin{array}{|c|c|}\hline \text{X}&\overline{\text{X}}\text{or}\text{X’}\\\hline 0&1\\\hline 1&0\\\hline \end{array} \)

And Gates

• Symbol
• Truth Table
  \( \def\arraystrecth{1.5}\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{X}&\text{Y}&\text{Z=X}\cdot\text{Y}\\\hline 0&0&0\\\hline 0&1&0\\\hline 1&0&0\\\hline 1&1&1\\\hline \end{array} \)

Or Gates

• Symbol
• Truth Table \( \def\arraystrecth{1.5}\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{X}&\text{Y}&\text{Z=X+Y}\\\hline 0&0&0\\\hline 0&1&1\\\hline 1&0&1\\\hline 1&1&1\\\hline \end{array} \)

布林表達式與真值表(Boolean Expression and Truth Table)

• Boolean expression
  • 用 ' 代表 NOT
  • 用 + 代表 OR
  • 用 . 代表 AND
  • 將輸入用上面的運算子表示成算式，如：\((A+C)(B’+C)\)
• Truth Table \( \def\arraystrecth{1.5}\begin{array}{ccc|cccccc} A&B&C&B’&AB’&AB’+C&A+C&B’+C&(A+C)(B’+C)\\\hline 0&0&0&1&0&0&0&1&0\\ 0&0&1&1&0&1&1&1&1\\ 0&1&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&1&1&0&0&1&1&1&1\\ 1&0&0&1&1&1&1&1&1\\ 1&0&1&1&1&1&1&1&1\\ 1&1&0&0&0&0&1&0&0\\ 1&1&1&0&0&1&1&1&1\\ \end{array} \)

基本運算定理

NOT gate 的基本運算定理

\( \boxed{ \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{ccc} (x’)’&=&x \end{array} } \)

AND gate 的基本運算定理

\( \boxed{ \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{ccc} x+0&=&x\\ x+1&=&1\\ x+x&=&x\\ x+x’&=&1 \end{array} } \)

OR gate 的基本運算定理

\( \boxed{ \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{ccc} x\cdot 0&=&0\\ x\cdot 1&=&x\\ x\cdot x&=&x\\ x\cdot x’&=&0 \end{array} } \)

進階運算定理

交換律 Commutative Law

\( \boxed{ \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{ccc} xy&=&yx\\ x+y&=&y+x \end{array} } \)

結合律 Associative Law

\( \boxed{ \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{ccc} (xy)z&=&x(yz)\\ (x+y)+z&=&x+(y+z) \end{array} } \)

分配律 Distributive Law

\( \boxed{ \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{ccc} x(y+z)&=&xy+xz\\ x+yz&=&(x+y)(x+z) \end{array} } \)

Multiplying out and factoring

Sum of Product(SOP) form

• 將算式化整成各個輸入端先 AND 後再 OR
• 例： \(ABC+AB’C+AB’C’\)

Product of Sum(POS) form

• 將算式化整成各個輸入端先 OR 後再 AND
• 例： \((A+B+C)(A+B’+C)(A+B’+C’)\)

Multiplying out：

• 將算式化簡成 SOP form
• 善用\(\boxed{(A+B)(A+C)=A+BC}\)
• 範例：
  \((A+BC)(A+D+E)\)
  \(=(A+x)(A+y)\)
  \(=A+xy\)
  \(=A+BC(D+E)\)
  \(=A+BCD+BCE\)

Factoring：

• 將算式化簡成 POS form
• 善用\(\boxed{A+BC=(A+B)(A+C)}\)
• 範例：
  \(AB’+C’D\)
  \(=(AB’+C’)(AB’+D)\)
  \(=(A+C’)(B’+C’)(A+D)(B’+D))\)

2-level realization

• 利用 Multiplying out 與 Factoring 可以將電路簡化成 2-level circuit
• 因為減少了 Delay propagation 可以減少 Total Time Delay

DeMorgan’s Laws and Duality

DeMorgan’s Laws

• 方法：
  • \(AND\leftrightarrow OR\)
  • \(A\leftrightarrow A’\)
    \( \boxed{ \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{ccc} (x+y+z+…)’&=&x’ y’ z’…\\ (xyz…)’&=&x’+y’+z’… \end{array} } \)
• Truth Table 證明
  \( \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{ccc|ccc|c|c|c} x&y&z&x’&y’&z’&x+y+z&(x+y+z)‘&x’ y’ z’\\\hline 0&0&0&1&1&1&0&1&1\\ 0&0&1&1&1&0&1&0&0\\ 0&1&0&1&0&1&1&0&0\\ 0&1&1&1&0&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&1&1&1&0&0\\ 1&0&1&0&1&0&1&0&0\\ 1&1&0&0&0&1&1&0&0\\ 1&1&1&0&0&0&1&0&0\\ \end{array} \)
• 範例
  \([(A’ B+C’)(D’+EF’)+GH+W]’\)
  \(=[(A+B’)C+D(E’+F)] (G’+H’)W’\)

Duality

• 方法

  • \(AND\leftrightarrow OR\)
  • \(0\leftrightarrow 1\)
    \( \boxed{ \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{cccccccccc} [f(&x_1,&x_2,&…,&x_n,&0,&1,&+,&\cdot&)]^D\\ =f(&x_1,&x_2,&…,&x_n,&1,&0,&\cdot,&+&) \end{array} } \)

• 性質

  • \(\boxed{F=G\rightarrow F^D=G^D}\)

• 範例
  \((x+y’)y=xy\rightarrow x\cdot y’+y=x+y\)

• 回顧分配律 Distributive Law，即為 Duality 的表現。
  \( \boxed{ \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{ccc} x(y+z)&=&xy+xz\\ x+yz&=&(x+y)(x+z) \end{array} } \)

Exclusive-OR and equivalence operations

Exlusive-OR(XOR,\(\oplus\))

• Symbol
• Truth Table
  \( \def\arraystrecth{1.5}\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{X}&\text{Y}&\text{Z=X}\oplus\text{Y}\\\hline 0&0&0\\\hline 0&1&1\\\hline 1&0&1\\\hline 1&1&0\\\hline \end{array} \)
• 性質：
  \( \boxed{ \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{ccc} x\oplus 0&=&x\\ x\oplus 1&=&x’\\ x\oplus x&=&0\\ x\oplus x’&=&1\\ x\oplus y&=&y\oplus x\\ (x\oplus y)\oplus z&=&x\oplus (y\oplus z)\\ x(y\oplus z)&=&xy\oplus xz\\ x\oplus y&=&xy+x’ y’ \end{array} } \)

Equivalence(\(\equiv\))

• Symbol
• Truth Table
  \( \def\arraystrecth{1.5}\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{X}&\text{Y}&\text{Z=X}\equiv{Y}\\\hline 0&0&1\\\hline 0&1&0\\\hline 1&0&0\\\hline 1&1&1\\\hline \end{array} \)
• 性質：
  \( \boxed{ \def\arraystretch{1.5}\begin{array}{ccc} x\equiv 0&=&x’\\ x\equiv 1&=&x\\ x\equiv x&=&1\\ x\equiv x’&=&0\\ x\equiv y&=&y\equiv x\\ (x\equiv y)\equiv z&=&x\equiv (y\equiv z)\\ x(y\equiv z)&=&xy\equiv xz\\ x\equiv y&=&xy’+x’ y \end{array} } \)

連鎖律 The consensus thorem

• 公式：
  • \(\boxed{xy+x’ z+yz=xy+x’ z}\)
  • \(\boxed{(x+y)(x’+z)(y+z)=(x+y)(x’+z)}\)
• 證明：
  \(xy+x’ z+yz\)
  \(=xy+x’ z + (x+x’)yz\)
  \(=xy+xyz+x’ z+x’ yz\)
  \(=xy(1+z)+x’ z(1+y)\)
  \(=xy+x’ z\)

簡化布林表達式的流程

1. 利用 \(\boxed{xy+xy’=x(y+y’)=x}\)(AND性質)
2. 利用 \(\boxed{x+xy+…=x(1+y+…)=x}\)(OR性質)
3. 利用 \(\boxed{xy+x’ z+yz=xy+x’z }\)(連鎖律)
4. 利用 \(\boxed{x+x’y=x(y+y’)+x’y=xy+xy’+x’ y=x+y}\)
5. 必要時加入 redundant terms

• Lec3會使用圖表法，較不容易出錯。

如何證明布林表達式的正確性?

1. 建構 Truth Table
2. 簡化 LHS 和 RHS