布林表達式的轉換

• 將文字敘述轉換成布林表達式：

\( \def\arraystrecth{1.5}\begin{array}{l} \underbrace{\text{The alarm will ring}}_ {Z} \text{ iff } \underbrace{\text{the power of alarm is on}} _{A} \text{ and } \underbrace{\text{the door is not closed}} _{B’} \\ \text{ or } \underbrace{\text{it is after 6 p.m.}} _{C} \text{ and } \underbrace{\text{the window is not closed}} _{D’} \end{array} \)

• \(Z=AB’+CD’\)

由真值表開始建構邏輯電路

• Truth Table:
  \( \boxed{ \def\arraystretch{1}\begin{array}{ccc|c|c} A&B&C&f&f’\\\hline 0&0&0&0&1\\ 0&0&1&0&1\\ 0&1&0&0&1\\ 0&1&1&1&0\\ 1&0&0&1&0\\ 1&0&1&1&0\\ 1&1&0&1&0\\ 1&1&1&1&0 \end{array} } \)
• 利用 1’s 的函數
  \(f=A’ BC+AB’ C’+AB’ C+ABC’+ABC\)
  \(=A’ BC+AB’+AB\)
  \(=A’ BC+A\)
  \(=A+BC\)
• 利用 0’s 的函數
  \(f=(A+B+C)(A+B+C’)(A+B’+C)\)
  \(=(A+B)(A+B’+C)\)
  \(=A+B(B’+C)\)
  \(=A+BC\)

Minterm 與 maxterm 展開

• 以 \(F=A’ BC+A\) 為範例 \( \boxed{ \def\arraystretch{1}\begin{array}{c|ccc|c|c|cc} \text{Row No.}&A&B&C&\text{Minterns}&\text{Maxterms}&f&f’\\\hline 0&0&0&0&\text{A’B’C’}=\text{m}_0&\text{A+B+C}=\text{M}_0&0&1\\ 1&0&0&1&\text{A’B’C}=\text{m}_1&\text{A+B+C’}=\text{M}_1&0&1\\ 2&0&1&0&\text{A’BC’}=\text{m}_2&\text{A+B’+C}=\text{M}_2&0&1\\ 3&0&1&1&\text{A’BC}=\text{m}_3&\text{A+B’+C’}=\text{M}_3&1&0\\ 4&1&0&0&\text{AB’C’}=\text{m}_4&\text{A’+B+C}=\text{M}_4&1&0\\ 5&1&0&1&\text{AB’C}=\text{m}_5&\text{A’+B+C’}=\text{M}_5&1&0\\ 6&1&1&0&\text{ABC’}=\text{m}_6&\text{A’+B’+C}=\text{M}_6&1&0\\ 7&1&1&1&\text{ABC}=\text{m}_7&\text{A’+B’+C’}=\text{M}_7&1&0\\ \end{array} } \)

• \(m_i’=M_i\)

• \(\text{f=A’BC+A=1}\)
  \(\text{=A’BC+AB’C’+AB’C+ABC’+ABC}\)
  \(=m_3+m_4+m_5+m_6+m_7\)
  \(=\sum m(3,4,5,6,7)\)

• \(\text{f=(A+B+C)(A+B+C’)(A+B’+C)=0}\)
  \(=M_0M_1M_2\)
  \(=\prod M(0,1,2)\)

• Maxterm 與 minterm 的轉換
  \( \boxed{ \def\arraystretch{1}\begin{array}{rcl} g&=&\sum m(2,3,4,6,7)\\ &=&\prod M(0,1,5)\\ g’&=&\sum m(0,1,5)\\ g&=&[\sum m(0,1,5)]’\\ &=&\prod m’(0,1,5)\\ &=&\prod M(0,1,5) \end{array} } \)

• 性質：

  • \(\boxed{\text{m}_i\text{m}_j=0\text{ if i}\neq j}\)

未完整定義的函式(Don’t Care)

• Truth table:
  \( \boxed{ \def\arraystretch{1}\begin{array}{lll|l} A&B&C&F\\\hline 0&0&0&1\\ 0&0&1&X\leftarrow \text{Don’t care}\\ 0&1&0&0\\ 0&1&1&1\\ 1&0&0&0\\ 1&0&1&0\\ 1&1&0&X\leftarrow \text{Don’t care}\\ 1&1&1&1\\ \end{array} } \)
• 表達式：
  • \(F=\sum m(0,3,7)+\sum d(1,6)=\prod M(2,4,5)\cdot \prod(1,6)\)

Binary adders and subtracters

Half Adder 半加器

• \(X,Y_{\text{in}}\rightarrow{\boxed{\text{Half Adder}}\rightarrow \text{Sum}}\)
• Truth Table:
  \( \boxed{ \def\arraystretch{1}\begin{array}{cc|c} X&Y&Sum\\\hline 0&0&0\\ 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0\\ \end{array} } \)
• 表達式： \(\text{Sum}=X’ Y+XY’\)

Full Adder 全加器

• \(X,Y,C_{\text{in}}\rightarrow{\boxed{\text{Full Adder}}\rightarrow C_{out}, \text{Sum}}\)
• Truth Table:
  \( \boxed{ \def\arraystretch{1}\begin{array}{ccc|cc} X&Y&C_{\text{in}}&C_{\text{out}}&\text{Sum}\\\hline 0&0&0&0&0\\ 0&0&1&0&1\\ 0&1&0&0&1\\ 0&1&1&1&0\\ 1&0&0&0&1\\ 1&0&1&1&0\\ 1&1&0&1&0\\ 1&1&1&1&1\\ \end{array} } \)
• 表達式：
  • \(\text{Sum}=X\oplus Y\oplus C_{\text{in}}\)
  • \(C_\text{out}=YC_{\text{in}}+XC_{\text{in}}+XY\)
• 邏輯電路

4-Bit Parallel Adder (Ripple Carry Adder 漣波加法器)

• 四個平行串接的全加器 (Full Adder)

Binary Subtracter using Full Adders

• 用全加器來實現減法器

Full Subtracter

• \(x_i,y_i,b_i\rightarrow\boxed{\text{Full Subtracter}}\rightarrow b_{i+1},d_i\)

• Truth Table:
  \( \boxed{ \def\arraystretch{1}\begin{array}{ccc|cc} x_i&y_i&b_i&b_{i+1}&d_i\\\hline 0&0&0&0&0\\ 0&0&1&1&1\\ 0&1&0&1&1\\ 0&1&1&1&0\\ 1&0&0&0&1\\ 1&0&1&0&0\\ 1&1&0&0&0\\ 1&1&1&1&1\\ \end{array} } \)

• 示意
  \( \boxed{ \def\arraystretch{1}\begin{array}{c|cc} &\text{Column i Before Borrow}&\text{Column i After Borrow}\\\hline x_i&0&10&\\ -b_i&-1&-1\\ -y_i&-1&-1\\\hline d_i&&0(b_{i+1}=1)\\ \end{array} } \)

Parallel Subtracter

Speeding up integer additions

Ripple Carry Adder

• 一般的漣波進位加法器
  • 設計簡單、規律
  • 有較大的 Time Delay
    • 一個 Full Adder 為\(C_\text{out}=YC_{\text{in}}+XC_{\text{in}}+XY\)
    • 也就是先 AND 再 OR，兩個 gate delay
    • 故 n-bit adder 的 time delay 是 2n

Carry Lockahead Adder(CLA)

• \(\text{Sum}=A\oplus B\oplus C_{in}\)
• \(C_{out}=AB+(A+B)C_{in}\)
• \(C_{i+1}=A_iB_i+(A_i+B_i)C_i\)
• \(C_{i+1}=g_i+p_iC_i\)
  • \(g_i=A_iB_i\) generate function
  • \(p_i=A_i+B_i\) propagate function
• \(C_2=g_1+p_1C_1\)
• \(C_2=g_1+p_1p_0g_0+p_1p_0C_0\)
• \(C_n=g_{n-1}+p_{n-1}g_{n-2}+p_{n-1}p_{n-2}g_{n-3}+…+p_{n-1}p_{n-2}…p_1g_0+p_{n-1}p_{n-2}…p_0C_0\)
• 換句話說，\(C_n\)可以藉由 \(C_0\)運算出來，以 4-bit 為例，可以從漣波的 8 次降到 5 次的 Gate delay。

Carry Select Adder

• 將兩個加法作平行處理
  • 預先假設 carry-in 的值，待前一級的 carry-in 算出後再用 selector 選擇正確的 carry-in，減去收到前級 carry-in 再開始運算的時間。

Binary multiplication

• 用邏輯閘模擬一般十進制進位法的乘法
  • 示意
    \( \def\arraystretch{1}\begin{array}{rcccc} \text{Multiplicand}&&&B_1&B_0\\ \text{Multiplier}&&&A_1&A_0\\\hline \text{Partial products}&&&A_0B_1&A_0B_0\\ \text{shift one bit left}&&A_1B_1&A_1B_0\\ \text{Sum of partial products}&C1&C2&C3&C4\\ \end{array} \)