布林邏輯式的簡化

• 卡諾圖(Karnaugh Maps, K-maps)是一種簡單、快速的簡化布林邏輯的方法。

SOP

• 將布林邏輯化簡成最簡SOP(Minimum Sum of products)
  • \(F=A’ B’ C’+A’ B’ C+A’ BC’+AB’ C+ABC’ +ABC\)
  • \(F=A’ B’+B’ C+BC’+AB\)
  • \(F=A’ B’+BC’+AC\)

POS

• 將布林邏輯化簡成最簡POS(Minimum Product of Sums)
  • \(F=(A+B’+C+D’)(A+B’+C’+D’)(A+B’+C’+D)(A’+B’+C’+D)(A+B+C’+D)(A’+B+C’+D)\)
  • \(F=(A+B’+D’)(A+B’+C’)(B’+C’+D)(B+C’+D)\)
  • \(F=(A+B’+D)(A+B’+C’)(C’+D)\)
  • \(F=(A+B’+D’)(C’+D)\)

2或3個變數的卡諾圖

簡化2個變數的布林邏輯式

• \(F=A’ B’+A’ B\)
  • 布林代數：
    • \(F=A’ B’+A’ B=A’(B’+B)=A’\)
  • 卡諾圖：
    • \( \boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c} \downarrow B\rightarrow A&0&1&\\\hline 0&\text{A=0,B=0}&\text{A=1,B=0}\\\hline 1&\text{A=0,B=1}&\text{A=1,B=1}\\ \end{array} } \rightarrow \boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c} &A’&A&\\\hline B’&1&0\\\hline B&1&0\\ \end{array} } \rightarrow A’ \)

簡化3個變數的布林邏輯式

• \(F=\sum m(2,3,6)=A’ BC’+A’ BC+ABC’\)
  • 布林代數：
    • \(F=A’ BC’+A’ BC+ABC’=A’ B+BC’\)
  • 卡諾圖：*注意相鄰以grey code排列
    • \( \boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c} \downarrow BC\rightarrow A&0&1&\\\hline 00&m_0(000)&m_4(100)\\\hline 01&m_1(001)&m_5(101)\\\hline 11&m_3(011)&m_7(111)\\\hline 10&m_2(010)&m_6(110)\\ \end{array} } \rightarrow \boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c} &A’&A&\\\hline B’ C’&0&0\\\hline B’ C &0&0\\\hline B C &1&0\\\hline B C’ &1&1\\ \end{array} } \rightarrow A’ B+BC’ \)

相鄰(Adjacency)的定義

• 最上面可以與最下面相接，視為相鄰
• 最左邊可以與最右邊相接，視為相鄰
  • \( \boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c} &A’&A&\\\hline B’ C’&0&0\\\hline B’ C &0&0\\\hline B C &1&1\\\hline B C’ &0&0\\ \end{array} } \rightarrow BC \)
  • \( \boxed{ \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c} &A’&A&\\\hline B’ C’&1&0\\\hline B’ C &0&0\\\hline B C &0&0\\\hline B C’ &1&0\\ \end{array} } \rightarrow A’ C’ \)

組合的規則

• 以組合相鄰且以2為倍數為規則
• 組合的元素愈多愈好
• 可以重複選(cover)

等效最簡式

• \(\boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c} &A’&A&\\\hline B’ C’&1&0\\\hline B’ C &1&1\\\hline B C &0&1\\\hline B C’ &1&1\\ \end{array}} \rightarrow F=A’ B’+BC’+AC=A’ C’+B’C+AB \)

4個變數的卡諾圖

• \(F=ACD+A’ B+D’\)
• 以卡諾圖表示
  • \(\boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c|c|c} &A’ B’&A’ B&AB&AB’\\\hline C’ D’&1&1&1&1\\\hline C’ D & &1& & \\\hline C D & &1&1&1\\\hline C D’ &1&1&1&1\\ \end{array}} \quad \boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c|c|c} &00&01&11&10\\\hline 00&m_0&m_4&m_{12}&m_8\\\hline 01&m_1&m_5&m_{13}&m_9\\\hline 11&m_3&m_7&m_{15}&m_{11}\\\hline 10&m_2&m_6&m_{14}&m_{10}\\ \end{array}} \)

以 min-term expression 方式解題

• 解 \(F(a,b,c,d)=\sum m(1,3,4,5,10,12,13)\)
  • \( \boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c|c|c} &00&01&11&10\\\hline 00& &1&1& \\\hline 01&1&1&1& \\\hline 11&1& & & \\\hline 10& & & &1\\ \end{array}} \rightarrow F=bc’+a’ b’ d+ab’ c’d \)

考慮 Don’t care 的情況

• 解 \(F(a,b,c,d)=\sum m(1,3,5,7,9)+\sum d(6,12,13)\)
  • \( \boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c|c|c} &00&01&11&10\\\hline 00& & &X& \\\hline 01&1&1&X&1\\\hline 11&1&1& & \\\hline 10& &X& & \\ \end{array}} \rightarrow F=a’d+c’d \)

以 max-term expression 方式解題

• 解 \(F(a,b,c,d)=\sum m(0,2,3,4,8,10,11,15)=\prod M(1,5,6,7,9,12,13,14)\)
  • \( \boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c|c|c} &00&01&11&10\\\hline 00& & &0& \\\hline 01&0&0&0&0\\\hline 11& &0& & \\\hline 10& &0&0& \\ \end{array}} \)
    \(\rightarrow F’=c’ d+a’ bc+abd’\)
    \(\rightarrow F=(c+d)(a+b’+c’)(a’+b’+d)\)

基本質函項(essential prime implicants)

名詞定義

• 蘊函項(Implicant)
  • 任何可以被組合的單一或群元素(意指為 \(F\)的子集。)
• 質函項(Prime Implicant)
  • 已不能再被組合更多的函項。(意指最大的、框選最多的子集)
• 基本質函項(Essential Prime Implicant)
  • 一個帶有只能被單一質函項框選到的元素的質函項
• \( \boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c|c|c} &00&01&11&10\\\hline 00& & &1& \\\hline 01&1&1&1& \\\hline 11& &1&1&1\\\hline 10& &1& & \\ \end{array}} \)
  • 蘊函項：\(A’ C’ D, ABC’, ACD, A’ BC, BD, m_1, m_5, m_6, m_7… \)
  • 質函項：\(A’ C’ D, ABC’, ACD, A’ BC, BD \)
  • 基本質函項：\(A’ C’ D,ABC’,A’ BC, ACD\)

簡化原則

• 因為有可能存在多個等效的最簡式，所以：

1. 盡可能將式子展開成質函項(Prime implicants)。
2. 用盡可能最少的質函項來表式布林函式。

• 例題
• \( \boxed{\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{c|c|c|c|c} &00&01&11&10\\\hline 00& &1&1& \\\hline 01&1&1&1& \\\hline 11&1& &1&1\\\hline 10& & &1&1\\ \end{array}} \rightarrow F=A’ B’ D+BC’+AC \)

5個變數的卡諾圖

• 表示法1
• 表示法2